基期平均数与变化计算

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1. 核心考点：增长率 vs 增长量

平均数的考查重点在于区分“相对变化”（增长率）和“绝对变化”（增长量）。一定要看清题目问的是“百分之几”还是“多少元/个”。

1.1 基期平均数

• 公式：$\mathrm{基}\mathrm{期}\mathrm{平}\mathrm{均}\mathrm{数}=\frac{A}{B}\times \frac{1+b}{1+a}$
• 应用：同基期比重。先算现期，再修正。

1.2 平均数的增长率 (Rate)

• 问题特征：问“平均...增长/下降了百分之几？”
• 公式：$r_{\mathrm{平}\mathrm{均}}=\frac{a-b}{1+b}$
• 辨析：分母是 $1+b$（份数增速），而比重变化量公式中分母是 $1+a$（部分增速）。切勿混淆。

1.3 平均数的增长量 (Amount)

• 问题特征：问“平均...增长/下降了多少（单位）？”
• 公式：$\mathrm{增}\mathrm{长}\mathrm{量}=\mathrm{现}\mathrm{期}\mathrm{平}\mathrm{均}\mathrm{数}-\mathrm{基}\mathrm{期}\mathrm{平}\mathrm{均}\mathrm{数}=\frac{A}{B}-\frac{A}{B}\times \frac{1+b}{1+a}=\frac{A}{B}\times \frac{a-b}{1+a}$
• 速算：直接代入现期平均数 $\times$ 修正系数。

3. 典型真题与解析

真题 1：2023年总额增20%(a)，人数增10%(b)。人均增长了百分之几？

A.10%B.9.1%C.9.5%D.11%

解析

【解析】 本题考查平均数增长率。

• 公式：$\frac{a-b}{1+b}$
• 计算：$(20\mathrm{\%}-10\mathrm{\%})/(1+10\mathrm{\%})=10\mathrm{\%}/1.1\approx 9.1\mathrm{\%}$。 故正确答案为 B。

真题 2：2023年单价为55元。销量增10%，销售额增21%。单价增长了多少元？

A.5元B.5.5元C.11元D.10元

解析

【解析】 本题考查平均数增长量。

• 公式：$\mathrm{现}\mathrm{期}\mathrm{平}\mathrm{均}\mathrm{数}\times \frac{a-b}{1+a}$
• 别解：亦可先求基期平均数。
• 基期：$55\times \frac{1+10\mathrm{\%}}{1+21\mathrm{\%}}=55\times \frac{1.1}{1.21}=55/1.1=50$元。
• 增量：$55-50=5$元。 故正确答案为 A。

真题 3：2022年人均收入5万元，增10%。2021年人均：

A.4.55B.4.50C.5.5D.4.0

解析

【解析】 本题考查基期平均数（通过现期和平均数增速）。

• 分析：题目只给了现期平均数和平均数本身的增速（需由总量份数转化，或直接给出）。若题意是人均收入同比增长10%，则直接 $5/1.1$。
• 计算：$5/1.1\approx 4.545$。 故正确答案为 A。

真题 4：总量增10%，份数增20%。平均数增长率：

A.-8.3%B.-10%C.+10%D.-9.1%

解析

【解析】 本题考查负增长率。

• 计算：$(10\mathrm{\%}-20\mathrm{\%})/(1+20\mathrm{\%})=-10\mathrm{\%}/1.2\approx -8.33\mathrm{\%}$。 故正确答案为 A。

真题 5：平均数增长量的公式中，分母是：

A.1+aB.1+bC.1+rD.b

解析

【解析】 本题考查公式记忆。

• 结论：$1+a$（此公式为 $\frac{A}{B}\times \frac{a-b}{1+a}$）。
• 特别注意：平均数增长率分母是 $1+b$。平均数增长量（借用比重变化量形式）分母是 $1+a$。记忆时推荐直接用“现期 - 基期”推导，避免记混。
• 验证：$A/B-\frac{A}{B}\frac{1+b}{1+a}=\frac{A}{B}(1-\frac{1+b}{1+a})=\frac{A}{B}\frac{1+a-(1+b)}{1+a}=\frac{A}{B}\frac{a-b}{1+a}$。确实是 $1+a$。 故正确答案为 A。

真题 6：某指标平均数增长率公式 $R = \frac{a-b}{1+b}$。若 $b > a$，则 R：

A.> 0B.< 0C.= 0D.无法判断

解析

【解析】 本题考查正负判定。

• 结论：分母恒正，分子负，则负。 故正确答案为 B。

真题 7：2023年A=100，B=10。a=20%，b=10%。平均数增长量约为：

A.0.9B.10C.0.83D.1.5

解析

【解析】 本题考查代入计算。

• 公式：$\frac{100}{10}\times \frac{20\mathrm{\%}-10\mathrm{\%}}{1+20\mathrm{\%}}$
• 计算：$10\times \frac{0.1}{1.2}=1/1.2\approx 0.833$。 故正确答案为 C。

真题 8：2023年单价同比上涨5%。已知2022年单价为100元。2023年单价为：

A.105B.95C.100D.110

解析

【解析】 本题考查基础增长。

• 计算：$100\times 1.05=105$。 故正确答案为 A。

真题 9：平均数增长率与比重变化量，在公式结构上的主要区别是：

A.分子不同B.分母不同（增长率分母1+b，变化量分母1+a）C.乘数不同D.完全一样

解析

【解析】 本题考查高阶辨析。

• 平均数增长率：$(a-b)/(1+b)$。
• 比重变化量：占比 $\times (a-b)/(1+a)$。
• 核心差异：除了乘数（占比 vs 1），分母一个是 $1+b$，一个是 $1+a$。 故正确答案为 B。

真题 10：人均GDP增长率通常：

A.高于GDP增速B.低于GDP增速（因人口通常正增长）C.等于GDP增速D.无法判断

解析

【解析】 本题考查常识推导。

• 公式：$(a-b)/(1+b)$。若人口增长 $b>0$，则分母 $>1$，分子减 $b$。通常人均增速 < 总量增速。 故正确答案为 B。