图形数字化推理

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本章导读

数字化推理最适合处理这类题：

图形看起来杂，但构成元素可数。
图形之间形状差异大，数量关系却可能稳定。
题目不像在考平移、旋转、翻转，更像在考“几个”。

做题总原则很简单：

先找最容易数的对象。
先试恒等，再试递增递减。
整体难数时，改数局部。

1.1 点

点在图形数字化推理中非常重要。原书把点分成三类：交点、连接点、孤立点。

1.1.1 交点数

知识讲解

两条线条的公共点叫作交点。交点可以来自直线与直线、曲线与曲线，也可以来自直线与曲线。很多图形表面复杂，真正稳定的往往只是交点数。

交点常见规律有：

各图交点数相同。
交点数依次递增或递减。
第一组交点数一条规律，第二组交点数另一条规律。

做题时要注意：

重叠但未真正相交，不算交点。
一处多线相交，要看实际形成几个交点，不要凭视觉估。

例题

观察上图，题干前四个图的核心变化是交点数逐个增加。问号处最应选哪一项？

A.4 个交点B.5 个交点C.6 个交点D.3 个交点

解析

【解析】

第一步，先只看横线与竖线的相交数量，不看外轮廓。前四图的交点数依次是 1、2、3、4。

第二步，既然每次都只增加 1 个交点，问号处就应继续补成 5 个交点的图形。

第三步，四个选项里，只有 B 项对应 5 个交点，所以答案选 B。

1.1.2 连接点与顶点数

知识讲解

有些题不考相交，而考图形之间如何连接。若几个小图只通过“点”连接，不通过“边”连接，这本身就可能是规律。另一类题会直接考顶点数，尤其是三角形、方形、多边形组合图。

常见判断：

所有元素都以点连接。
每个图的顶点数分别为 3、4、5、6。
两组图形都遵循“顶点数递增 1”的关系。

例题

观察题干中多边形的顶点变化，问号处最应补成哪一种顶点数的图形？

A.4 个顶点B.7 个顶点C.5 个顶点D.3 个顶点

解析

【解析】

第一步，这道题的切口不是看图像像什么，而是看多边形边角数量。题干已经明确给出从 4 顶点、5 顶点到 6 顶点的递进层级。

第二步，顺着同一条递增思路，问号处应继续补成更高一级的 7 顶点图形。

第三步，选项里只有 B 项是 7 顶点，因此答案选 B。

1.1.3 孤立点

知识讲解

小圆点、小黑点、小空心点、小圆圈，都可以视为孤立点。孤立点题常见三种方向：

直接数点。
黑白点分开数。
用点来表达数字。

这类题有时会把图形做成算盘、骰子、点阵的样子，本质还是数量题。

例题

观察图中黑点数量的变化规律，问号处应补成多少个黑点？

A.14 个黑点B.15 个黑点C.16 个黑点D.17 个黑点

解析

【解析】

第一步，题干前几图的黑点数依次是 3、5、7、11，第二组给出的选项区继续围绕奇数点数展开。

第二步，这类题优先看“点在表达数”。若按连续奇数递增补位，缺失项应为 15。

第三步，四个选项中，只有 B 项对应 15 个黑点，所以答案选 B。

1.1.4 点的运算关系

知识讲解

有些题不满足简单数列，而是要求点之间做运算。最常见的是：

线上点与线下点存在固定关系。
左图与右图的点数和决定中间图。
上下区域点数做加减乘除。

这时图形只是外壳，实质是代数关系。

例题

观察已知两图中线上与线下黑点的配比，若问号图保持同一关系，问号处应选哪一项？

A.线下 2 个黑点B.线下 3 个黑点C.线下 4 个黑点D.线下 5 个黑点

解析

【解析】

第一步，第一幅图是“线上 2、线下 3”，第二幅图是“线上 4、线下 2”。两图都在提醒你：要把线上点数和线下点数一起看。

第二步，若问号图已知线上是 2 个黑点，并继续保持两部分的数量和为 5，那么线下应为 3 个黑点。

第三步，因此只有 B 项符合，答案选 B。

1.2 线

线是图形最常见的构成对象。原书把线分成线段数量、曲线数量、局部线数和点线组合四类。

1.2.1 线段数恒等

知识讲解

很多题的核心只是：每个图形都由相同数量的线段组成。

常见形式：

每图都是 6 条线段。
第一组都为 13 条线段，第二组都为 14 条线段。
笔画数和线段数保持定值。

遇到线段恒等题时，先别急着看样式，先看总边数。

例题

观察左侧几幅图，虽然外观不同，但线段总数保持不变。问号处应选哪一项？

A.7 条线段B.8 条线段C.9 条线段D.6 条线段

解析

【解析】

第一步，这类题最容易被外形迷惑。真正要数的是每个图由多少条独立线段组成，而不是它整体像什么。

第二步，题干前几图都可以数出 8 条线段，所以问号处也必须保持 8 条线段恒等。

第三步，四个选项中，只有 B 项满足这一点，因此答案选 B。

1.2.2 线段数递增或递减

知识讲解

线段数是最经典的等差变化对象。

常见规律：

1、3、5、7
2、3、4、5、6
10、8、6、4、2

判断时要注意：

长边被分断后，应该按线段数算。
内部辅助线和外轮廓线都要算进去。

例题

题干图形的射线数量呈等差变化。问号处最应补哪一项？

A.6 条线段B.7 条线段C.8 条线段D.5 条线段

解析

【解析】

第一步，前四图的线段数依次是 3、4、5、6，这是非常标准的“每次加 1”。

第二步，既然题干没有出现回退或分组变化，问号处应直接接成 7 条线段。

第三步，选项里只有 B 项是 7 条线段，所以答案选 B。

1.2.3 曲线的数量关系

知识讲解

有些题不适合数直线，更适合数曲线。原书把这类题单独拿出来，说明它在图推里很常见。

常见考法：

是否含曲线。
曲线数量恒等。
曲线数量递增。
曲线与笔画数结合。

例题

观察题干图中曲线数量的递增规律，问号处应补成哪一项？

A.4 条曲线B.5 条曲线C.6 条曲线D.3 条曲线

解析

【解析】

第一步，左侧前几图的曲线数依次为 0、1、2、3、4，规律非常直接，就是连续递增。

第二步，做这类题时不要去想图形像什么，只需要把每一条弧线单独数出来。

第三步，下一项应为 5 条曲线，因此答案选 B 项。

1.2.4 局部线数

知识讲解

复杂图形整体难数时，原书强调“只数有规律的那一部分”。这一步非常关键。

高频局部对象：

圆外侧的小线段。
图中最突出的线头。
内部某个固定区域的边数。

例题

这题只看圆外侧的小短线，不看圆本身。若问号处继续保持题干规律，应选哪一项？

A.圆外 5 根短线B.圆外 6 根短线C.圆外 7 根短线D.圆外 8 根短线

解析

【解析】

第一步，题干强调的是“局部数量”，不是整体图像。三个相切圆始终不变，真正变化对象是外侧的小短线。

第二步，若题干都保持圆外短线总数恒为 6，那么问号处也必须继续满足这一恒等条件。

第三步，因此应选 B 项。

1.2.5 点线组合

知识讲解

原书在这一节里强调：当点和线同时出现时，要看它们是否联动。

典型关系：

线段减少，点数增加。
边数 = 点数。
边数 = 点数 + 1。

例题

观察题干图中“点数”和“线数”的联动关系，问号处应选哪一项？

A.5 个点、6 条线B.6 个点、7 条线C.5 个点、5 条线D.4 个点、6 条线

解析

【解析】

第一步，前四图中，点数依次是 1、2、3、4，对应的线段数依次是 2、3、4、5。

第二步，也就是说，题干一直满足“线段数 = 点数 + 1”。顺着这个关系，下一图应是 5 个点配 6 条线。

第三步，四项中只有 A 项同时满足这两个条件，因此答案选 A。

1.3 角

知识讲解

角类题在原书中虽然篇幅不算最长，但很有代表性。它适用于折线多、尖角明显、线段数不稳定的图形。

可以优先看：

总角数。
直角数。
锐角和钝角的分布。
某类角是否递增。

例题

观察台阶状图形的直角数量变化，问号处最应补哪一项？

A.4 个直角B.5 个直角C.6 个直角D.3 个直角

解析

【解析】

第一步，台阶图最稳定的切口就是数直角。前四图的直角数依次增加：1、2、3、4。

第二步，既然每增加一级台阶就多一个直角，下一图自然应有 5 个直角。

第三步，因此答案选 B 项。

1.4 面

1.4.1 是否存在封闭区域

知识讲解

有些题先不数“几个面”，而是先判断“有没有封闭面”。这是一层比数面更基础的判断。

常见规律：

每图至少有一个封闭区。
某一项是开放图，其余都是封闭图。
封闭区从无到有变化。

例题

这题先不要数复杂元素，只判断图形是开放还是封闭。问号处应选哪一项？

A.开放图形B.封闭图形C.纯曲线图形D.仅一条折线图形

解析

【解析】

第一步，题干前几图的共同点很清楚：轮廓都是闭合的，没有缺口，属于封闭图形。

第二步，这说明本题考查的是最基础的“开闭属性”，问号处也应继续保持封闭。

第三步，四个选项中，只有 B 项符合，因此答案选 B。

1.4.2 封闭区域个数

知识讲解

这是面类题最常考的一种。网格图、分割图、相交图都很适合数封闭区域。

常见规律：

封闭区域数量恒等。
封闭区域数量递增或递减。
第一组都为 3 个，第二组都为 4 个。

例题

观察题干图形内部被围成的封闭区域数量，问号处应补哪一项？

A.3 个封闭区B.4 个封闭区C.5 个封闭区D.2 个封闭区

解析

【解析】

第一步，这类题不能只看外轮廓，要把内部被线条真正围住的区域逐个数出来。

第二步，题干已经出现从 3 个封闭区向 4 个封闭区过渡的迹象，因此问号处应补成 4 个封闭区。

第三步，选项里只有 B 项满足，答案选 B。

1.4.3 阴影面积

知识讲解

原书在面这一节还延伸到阴影面积。很多题不是数“几个面”，而是看阴影是否占固定比例。

常见判断：

两部分阴影面积相等。
阴影面积始终占整体一半。
阴影面积递增或递减。

例题

观察左侧几幅图，阴影位置在变，但阴影面积始终保持稳定。问号处应选哪一项？

A.阴影面积恰好占整体一半B.阴影面积小于整体一半C.阴影面积大于整体一半D.图形不再满足面积守恒

解析

【解析】

第一步，这类题的核心不是看阴影朝哪边，而是看阴影占整体的比例是否变化。

第二步，前几图虽然涂黑方式不同，但都在表达“阴影恰占整体的一半”。问号处也应延续这一面积守恒。

第三步，因此应选 A 项。

1.5 元素

元素题是原书数字化推理后半段的重点，也是很多考生最容易漏看的部分。

1.5.1 元素个数

知识讲解

最直接的做法是看图里一共有几个小元素。

常见规律：

每图都是 5 个元素。
元素数依次增加。
两组图各自保持某一固定个数。

例题

观察题干图中小元素的总个数，问号处应选哪一项？

A.4 个元素B.5 个元素C.6 个元素D.3 个元素

解析

【解析】

第一步，题干并不考元素种类，只考“有几个”。前几图都可以数出元素总数恒为 5。

第二步，只要题干没有提示递增递减，就优先考虑恒等。

第三步，四项中只有 B 项保持 5 个元素，因此答案选 B。

1.5.2 元素种类数

知识讲解

有些题考的是“几种元素”，不是“几个元素”。

典型规律：

第一图 1 种，第二图 2 种，第三图 3 种。
第一组种类数为 2、4、6，第二组为 1、3、5。

例题

观察图中“不同种类元素”的数量，问号处应补成哪一项？

A.5 种元素B.6 种元素C.4 种元素D.3 种元素

解析

【解析】

第一步，本题不是数元素个数，而是数元素种类。题干左侧从 1 种、2 种一直增加到 5 种。

第二步，既然种类数是逐次加 1，问号处应继续补成 6 种元素。

第三步，因此答案选 B 项。

1.5.3 相同元素构成

知识讲解

原书还强调一种情况：每个图都由相同形状的小图元组成，只是排列方式不同。

这类题经常和位置变化、黑白变化结合。

例题

这题考查元素是否“同质”。若问号处继续与题干保持一致，应选哪一项？

A.4 个元素但混入异类图元B.4 个完全相同的元素C.3 个相同元素D.5 个相同元素

解析

【解析】

第一步，题干前几图虽然位置有变化，但构成它们的都是同一种图元，没有混入异形元素。

第二步，因此问号处要延续的不是数量变化，而是“全部由相同元素组成”这一稳定条件。

第三步，选项里只有 B 项完整满足，所以答案选 B。

1.5.4 元素换算

知识讲解

当元素类型多而数量关系又明显时，可以把不同元素看作不同数值单位来换算。

常见形式：

一个圆 = 两个三角。
一个方块 = 四个小点。
统一折算后各图总值相同。

例题

观察前三图中圆、方、三角之间的换算关系，问号处最应补哪一项？

A.1 个圆 + 1 个方B.5 个三角C.2 个方D.2 个圆 + 1 个方

解析

【解析】

第一步，这题不是直接数总个数，而是看不同图元之间能否互相转化。前三图已经在提示：元素会从低级图元逐步并合为更高一级图元。

第二步，顺着这种“合并换算”的方向，问号处应表现为更完整的换算结果，而不是回到单一三角或单一方块。

第三步，四项中，D 项最符合这种转化后的综合结果，因此答案选 D。

本章小结

图形数字化推理真正的核心，不是“会数”，而是“知道该数什么”。推荐你按下面顺序复盘：

我最后数的是点、线、角、面，还是元素。
规律是恒等、递增递减，还是局部规律。
题目有没有换算或组合关系。

只要这三步稳定下来，数量类图推就不会再靠感觉做题。

图形推理