进阶知识（大学数学）

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一、高等数学（微积分）

1. 极限与连续（基础）

• 知识点：极限是“自变量接近某点时，函数值接近什么”；连续是“极限值等于函数值”。
• 常见变形：
• 基本极限：$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$
• 等价无穷小：$\sin x\sim x,e^x-1\sim x,\ln (1+x)\sim x$
• 有理化：$\sqrt{1+x}-1=\frac{x}{\sqrt{1+x}+1}$
• 相关考点：0/0 型极限、分段函数连续、参数取值。

题目 1（基础）：求 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}$。

• 已知：自变量 $x\to 0$，表达式是三角比值。
• 目标：求极限值。
• 思路：直接套用基本极限。
• 分步推导：

1. 写出基本结论：$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$。
2. 与题目形式完全一致，直接得到结果。

• 结论：极限为 $1$。
• 易错点：把它误写成 $0$（把“趋近”误当成“代入”）。

题目 2（变形）：求 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$。

• 已知：分子是根式差，直接代入是 $0/0$。
• 目标：消掉根式，化成可求极限形式。
• 思路：有理化分子。
• 分步推导：

1. 乘以共轭：$$\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\cdot \frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1}=\frac{(1+x)-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}$$
2. 约去 $x$（$x\ne 0$ 的邻域内）：$$=\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}$$
3. 再取极限：$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$$

• 结论：极限为 $\frac{1}{2}$。
• 易错点：有理化后忘记约去 $x$，或直接把分母看成 $x$ 导致错误。

题目 3（真题改编）：设

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sin x}{x},& x\ne 0\\ a,& x=0\end{array}$$

求 $a$ 使 $f(x)$ 在 $x=0$ 连续。

• 已知：分段函数，$x=0$ 处函数值为 $a$。
• 目标：用连续定义求参数。
• 思路：连续条件是 $\underset{x\to 0}{lim}f(x)=f(0)=a$。
• 分步推导：

1. 先算左侧极限：$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$$
2. 连续要求：$$a=\underset{x\to 0}{lim}f(x)=1$$

• 结论：$a=1$。
• 易错点：只算出极限为 1，但忘记把它和 $f(0)=a$ 对接。

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2. 导数与应用（基础到综合）

• 知识点：导数表示瞬时变化率；一阶导判断单调，二阶导或导数符号变化可判断极值性质。
• 常见变形：
• 求导法则：$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$
• 链式法则：$(f(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$
• 导数应用：切线、单调区间、最值
• 相关考点：切线方程、极值点判定、最优化。

题目 1（基础）：函数 $y=x^3-3x+1$，求导数并写出 $x=1$ 处切线方程。

• 已知：函数表达式和指定点横坐标。
• 目标：先求导，再用点斜式写切线。
• 思路：斜率由导数给出，点坐标来自原函数。
• 分步推导：

1. 求导：$$y^{\prime }=(x^3-3x+1{)}^{\prime }=3x^2-3$$
2. 求切点纵坐标：$$y(1)=1-3+1=-1$$
3. 求切线斜率：$$k=y^{\prime }(1)=3-3=0$$
4. 用点斜式：$y-(-1)=0(x-1)$，得 $y=-1$。

• 结论：导数 $y^{\prime }=3x^2-3$；切线方程 $y=-1$。
• 易错点：把“在 $x=1$ 处”误当成点 $(1,1)$。

题目 2（变形）：求 $f(x)=x^3-3x$ 的单调区间与极值。

• 已知：三次函数。
• 目标：找出导数零点并做符号分析。
• 思路：单调性由 $f^{\prime }(x)$ 正负决定。
• 分步推导：

1. 求导：$$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$$
2. 临界点：$x=-1,1$。
3. 分区间看符号：
   • $(-\mathrm{\infty },-1)$：$f^{\prime }(x)>0$，递增
   • $(-1,1)$：$f^{\prime }(x)<0$，递减
   • $(1,+\mathrm{\infty })$：$f^{\prime }(x)>0$，递增
4. 算极值：$$f(-1)=2,f(1)=-2$$

• 结论：在 $x=-1$ 处极大值 2，在 $x=1$ 处极小值 -2。
• 易错点：只看 $f^{\prime }(x)=0$ 就下结论，不做符号变化检查。

题目 3（真题改编）：求 $f(x)=x+\frac{4}{x}(x>0)$ 的最小值。

• 已知：定义域是 $x>0$。
• 目标：求全局最小值。
• 思路：先求驻点，再看其是否给出最小值。
• 分步推导：

1. 求导：$$f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{x^2}$$
2. 令导数为 0：$$1-\frac{4}{x^2}=0\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=2$$（因 $x>0$，舍去 $x=-2$）
3. 二阶导验证：$$f^{″}(x)=\frac{8}{x^3}>0(x>0)$$所以 $x=2$ 给极小值。
4. 代回：$$f(2)=2+\frac{4}{2}=4$$

• 结论：最小值为 $4$。
• 易错点：忘记定义域限制，错误保留负根。

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3. 积分（中等到提高）

• 知识点：不定积分是求原函数；定积分是累计量；面积问题常先求交点再定积分。
• 常见变形：
• 换元积分
• 分部积分
• 定积分几何意义（面积）
• 相关考点：原函数构造、变限积分、曲边梯形面积。

题目 1（基础）：求 $\int \frac{2x}{1+x^2}dx$。

• 已知：分母是 $1+x^2$，分子是其导数 $2x$。
• 目标：计算不定积分。
• 思路：设 $u=1+x^2$ 直接换元。
• 分步推导：

1. 令 $u=1+x^2$，则 $du=2xdx$。
2. 积分变为：$$\int \frac{2x}{1+x^2}dx=\int \frac{1}{u}du$$
3. 结果：$$\int \frac{1}{u}du=\ln |u|+C=\ln (1+x^2)+C$$（$1+x^2>0$，绝对值可省）

• 结论：$\ln (1+x^2)+C$。
• 易错点：漏写积分常数 $C$。

题目 2（变形）：求 ${\int }_0^{1}x{e}^{x^2}dx$。

• 已知：指数里是 $x^2$，外面有 $x$。
• 目标：利用换元把指数函数积分化简。
• 思路：设 $u=x^2$。
• 分步推导：

1. 设 $u=x^2$，则 $du=2xdx$，所以 $xdx=\frac{1}{2}du$。
2. 改变积分限：$x=0\Rightarrow u=0$，$x=1\Rightarrow u=1$。
3. 积分变为：$${\int }_0^{1}x{e}^{x^2}dx=\frac{1}{2}{\int }_0^1{e}^{u}du=\frac{1}{2}[e^u{]}_0^1=\frac{1}{2}(e-1)$$

• 结论：$\frac{e-1}{2}$。
• 易错点：换元后忘记同步改上下限。

题目 3（真题改编）：求 $y=x$ 与 $y=x^2$ 围成图形面积。

• 已知：两条曲线。
• 目标：先确定积分区间，再“上减下”积分。
• 思路：交点决定区间，比较函数大小决定被积式。
• 分步推导：

1. 求交点：$$x=x^2\Rightarrow x(x-1)=0\Rightarrow x=0,1$$
2. 在 $(0,1)$ 上，$x>x^2$，所以“上函数”是 $x$，“下函数”是 $x^2$。
3. 面积：$$S={\int }_0^1(x-x^2)dx={[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}]}_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$$

• 结论：面积为 $\frac{1}{6}$。
• 易错点：把“上减下”写反，导致面积为负。

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4. 多元函数与偏导（提高）

• 知识点：偏导用于描述各方向变化率；二元极值通常通过驻点和二阶判别。
• 常见变形：
• 一阶偏导：$f_x,f_y$
• 极值判别：$D=f_{xx}{f}_{yy}-f_{xy}^2$
• 约束极值：代入法或拉格朗日乘子法
• 相关考点：驻点分类、条件最值。

题目 1（基础）：设 $f(x,y)=x^{2}y+y^2$，求 $f_x,f_y$。

• 已知：二元函数。
• 目标：分别对 $x,y$ 求偏导。
• 思路：求 $f_x$ 时把 $y$ 当常数；求 $f_y$ 时把 $x$ 当常数。
• 分步推导：

1. 对 $x$ 求偏导：$$f_x=2xy+0=2xy$$
2. 对 $y$ 求偏导：$$f_y=x^2+2y$$

• 结论：$f_x=2xy,f_y=x^2+2y$。
• 易错点：把“偏导”误做成“全导”，把另一个变量也跟着求导了。

题目 2（变形）：求 $f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+5$ 的极小值点。

• 已知：二元二次函数。
• 目标：找驻点并判别性质。
• 思路：先解一阶方程组，再看二阶导。
• 分步推导：

1. 一阶偏导：$$f_x=2x-2,f_y=2y-4$$
2. 令其为 0：$$2x-2=0\Rightarrow x=1,2y-4=0\Rightarrow y=2$$
3. 二阶偏导：$$f_{xx}=2,f_{yy}=2,f_{xy}=0$$$$D=2\cdot 2-0^2=4>0,f_{xx}>0$$故为极小值点。

• 结论：极小值点是 $(1,2)$，极小值为 $f(1,2)=0$。
• 易错点：只求驻点，不做二阶判别就下结论。

题目 3（真题改编）：在约束 $x+y=1$ 下，求 $f(x,y)=x^2+y^2$ 的最小值。

• 已知：线性约束 + 二次目标函数。
• 目标：求条件最小值。
• 思路：用代入法降为一元函数。
• 分步推导：

1. 由约束得 $y=1-x$。
2. 代入目标函数：$$f(x)=x^2+(1-x{)}^2=2x^2-2x+1$$
3. 求导：$$f^{\prime }(x)=4x-2=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}$$
4. 回代：$$y=\frac{1}{2},f_{min}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}$$

• 结论：最小值为 $\frac{1}{2}$，在 $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 处取得。
• 易错点：忘记把约束代回目标函数，直接当无约束问题做。

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二、线性代数

1. 线性方程组与矩阵（基础到中等）

• 知识点：解线性方程组本质是做消元；矩阵可逆等价于行列式非零。
• 常见变形：
• 加减消元
• 增广矩阵行变换
• 参数方程组讨论
• 相关考点：唯一解/无穷解/无解判定、秩、参数分类。

题目 1（基础）：解

$$\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ x-y+z=2\\ 2x+y-z=3\end{array}$$

• 已知：三元一次方程组。
• 目标：求 $(x,y,z)$。
• 思路：先消掉同类项，逐步降维。
• 分步推导：

1. 第一式减第二式：$$(x+y+z)-(x-y+z)=6-2\Rightarrow 2y=4\Rightarrow y=2$$
2. 将 $y=2$ 代入第一式：$$x+z=4$$
3. 将 $y=2$ 代入第三式：$$2x+2-z=3\Rightarrow 2x-z=1$$
4. 联立$$\{\begin{array}{l}x+z=4\\ 2x-z=1\end{array}$$相加得 $3x=5\Rightarrow x=\frac{5}{3}$，再得 $z=4-\frac{5}{3}=\frac{7}{3}$。

• 结论：$(\frac{5}{3},2,\frac{7}{3})$。
• 易错点：第二步后代入时把 $x+z=4$ 写错成 $x-z=4$。

题目 2（中等）：判断矩阵

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$

是否可逆，并求 $A^{-1}$。

• 已知：2 阶矩阵。
• 目标：先判定可逆，再求逆。
• 思路：先算行列式，不为 0 才能求逆。
• 分步推导：

1. 行列式：$$detA=1\cdot 4-2\cdot 3=-2\ne 0$$所以可逆。
2. 2 阶逆矩阵公式：$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$$
3. 代入 $a=1,b=2,c=3,d=4$：$$A^{-1}=\frac{1}{-2}\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

• 结论：可逆，逆矩阵如上。
• 易错点：把分母 $ad-bc$ 写成 $bc-ad$。

题目 3（真题改编）：讨论参数方程组

$$\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\ x+ky+z=1\\ x+y+kz=1\end{array}$$

的解的情况。

• 已知：参数 $k$ 出现在系数矩阵里。
• 目标：按 $k$ 分类讨论解的个数。
• 思路：先做行变换看系数矩阵退化条件。
• 分步推导：

1. 系数矩阵$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& k& 1\\ 1& 1& k\end{array}\right)$$
2. 做变换 $R_2\leftarrow R_2-R_1,R_3\leftarrow R_3-R_1$：$$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& k-1& 0\\ 0& 0& k-1\end{array}\right)$$所以$$detA=(k-1{)}^2$$
3. 当 $k\ne 1$，$detA\ne 0$，唯一解。
4. 当 $k=1$，三式都变成 $x+y+z=1$，有无穷多解。

• 结论：
• $k\ne 1$：唯一解
• $k=1$：无穷多解
• 易错点：行列式计算出错，导致错误分类。

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2. 行列式与特征值（中等到提高）

• 知识点：特征值由 $det(A-\lambda I)=0$ 求出；可对角化取决于特征向量是否足够多。
• 常见变形：
• 2 阶特征方程
• 重根情形的可对角化判别
• 相似对角化计算幂
• 相关考点：求特征值、求特征向量、判断可对角化。

题目 1（基础）：求

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$$

的特征值。

• 已知：2 阶实对称矩阵。
• 目标：解特征方程。
• 思路：代入定义式 $det(A-\lambda I)=0$。
• 分步推导：

1. 写出 $A-\lambda I$：$$\left(\begin{array}{cc}2-\lambda & 1\\ 1& 2-\lambda \end{array}\right)$$
2. 行列式为$$(2-\lambda {)}^2-1=0$$
3. 化简：$$2-\lambda =\pm 1\Rightarrow \lambda =1,3$$

• 结论：特征值为 $1$ 和 $3$。
• 易错点：把 $det$ 展开成 $(2-\lambda {)}^2+1$。

题目 2（变形）：判断

$$B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$$

能否对角化。

• 已知：上三角矩阵，特征值从对角线可读出。
• 目标：看特征向量个数是否足够。
• 思路：重特征值时要检查几何重数。
• 分步推导：

1. 特征值：$\lambda =1$（代数重数 2）。
2. 解 $(B-I)v=0$：$$B-I=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\Rightarrow y=0,x\text{自由}$$
3. 特征向量只有一维（形如 $(x,0{)}^T$），线性无关特征向量不足 2 个。

• 结论：不能对角化。
• 易错点：看到“有特征值”就误以为一定可对角化。

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三、概率论

1. 概率与条件概率（基础到提高）

• 知识点：条件概率是“在已知事件发生条件下的概率”；贝叶斯公式用于反推。
• 常见变形：
• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
• $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
• $P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$
• 相关考点：抽签/抽球条件概率、医学检测、全概率公式。

题目 1（基础）：掷公平骰子一次，已知结果是偶数，求结果大于 3 的概率。

• 已知：条件“偶数”成立。
• 目标：求 $P(X>3\mid X\text{为偶数})$。
• 思路：在条件样本空间内重新计数。
• 分步推导：

1. 条件样本空间：$\{2,4,6\}$，共 3 个。
2. 其中大于 3 的是 $\{4,6\}$，共 2 个。
3. 概率为 $\frac{2}{3}$。

• 结论：$\frac{2}{3}$。
• 易错点：分母仍用 6，而不是条件样本空间大小 3。

题目 2（中等）：已知 $P(A)=0.6,P(B)=0.5,P(A\cap B)=0.3$，求 $P(A\cup B)$。

• 已知：交并关系数据完整。
• 目标：避免重复计数。
• 思路：用加法公式减去交集一次。
• 分步推导：

1. 直接代公式：$$P(A\cup B)=0.6+0.5-0.3$$
2. 得 $0.8$。

• 结论：$P(A\cup B)=0.8$。
• 易错点：不减交集，算成 1.1。

题目 3（真题改编）：某病患病率 1%，检测灵敏度 99%，特异度 98%。若检测阳性，求患病概率。

• 已知：
• $P(D)=0.01,P(\overline{D})=0.99$
• $P(T^{+}|D)=0.99$
• 特异度 98% 表示 $P(T^{-}|\overline{D})=0.98$，所以 $P(T^{+}|\overline{D})=0.02$
• 目标：求 $P(D|T^{+})$。
• 思路：先算阳性总概率，再用贝叶斯。
• 分步推导：

1. 全概率：$$P(T^{+})=P(T^{+}|D)P(D)+P(T^{+}|\overline{D})P(\overline{D})$$$$=0.99\times 0.01+0.02\times 0.99=0.0297$$
2. 贝叶斯：$$P(D|T^{+})=\frac{P(T^{+}|D)P(D)}{P(T^{+})}=\frac{0.99\times 0.01}{0.0297}=\frac{1}{3}$$

• 结论：阳性后患病概率约为 $33.33\mathrm{\%}$。
• 易错点：把“灵敏度/特异度”直接当成“阳性后患病概率”。

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2. 随机变量与分布（中等）

• 知识点：不同情境对应不同分布；先识别模型，再代公式。
• 常见变形：
• 二项分布：固定次数独立重复试验
• 泊松分布：单位时间/区域稀有事件次数
• 正态分布：连续型、对称钟形
• 相关考点：分布识别、概率计算、标准化。

题目 1（基础）：$X\sim B(5,0.2)$，求 $P(X=2)$。

• 已知：二项分布参数 $n=5,p=0.2$。
• 目标：代入二项分布公式。
• 思路：先算组合数，再算概率幂。
• 分步推导：

1. 公式：$$P(X=2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})(0.2{)}^2(0.8{)}^3$$
2. 计算：$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})=10,(0.2{)}^2=0.04,(0.8{)}^3=0.512$$
3. 得：$$P(X=2)=10\times 0.04\times 0.512=0.2048$$

• 结论：$P(X=2)=0.2048$。
• 易错点：把 ${0.8}^3$ 写成 ${0.8}^2$。

题目 2（中等）：若 $X\sim P(2)$，求 $P(X\ge 1)$。

• 已知：泊松参数 $\lambda =2$。
• 目标：求“至少一次”概率。
• 思路：用补事件更快：$1-P(X=0)$。
• 分步推导：

1. 泊松分布 $P(X=0)=e^{-2}\frac{2^0}{0!}=e^{-2}$。
2. 所以$$P(X\ge 1)=1-e^{-2}$$

• 结论：$1-e^{-2}$。
• 易错点：直接从 $k=1$ 累加到无穷，计算复杂且易错。

题目 3（真题改编）：$X\sim N(10,4)$，求 $P(X<12)$。

• 已知：均值 $\mu =10$，方差 $4$，所以标准差 $\sigma =2$。
• 目标：标准化后查表。
• 思路：化为标准正态变量 $Z$。
• 分步推导：

1. 标准化：$$Z=\frac{X-10}{2}$$
2. 对应 $X=12$ 时：$$z=\frac{12-10}{2}=1$$
3. 所以$$P(X<12)=P(Z<1)\approx 0.8413$$

• 结论：约 $0.8413$。
• 易错点：把方差 4 当成标准差 4。

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3. 数字特征（提高）

• 知识点：期望看中心，方差看波动；独立时方差可加。
• 常见变形：
• $E(aX+b)=aE(X)+b$
• $\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)$
• 相关考点：离散分布期望方差、线性组合、样本均值性质。

题目 1（基础）：随机变量 $X$ 取值 0、1、2，概率分别为 0.2、0.5、0.3，求 $E(X)$ 和 $\mathrm{Var}(X)$。

• 已知：离散分布表。
• 目标：先求期望，再用 $D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$。
• 思路：分别计算加权和。
• 分步推导：

1. 期望：$$E(X)=0\times 0.2+1\times 0.5+2\times 0.3=1.1$$
2. 二阶矩：$$E(X^2)=0^2\times 0.2+1^2\times 0.5+2^2\times 0.3=1.7$$
3. 方差：$$\mathrm{Var}(X)=1.7-{1.1}^2=0.49$$

• 结论：$E(X)=1.1,\mathrm{Var}(X)=0.49$。
• 易错点：把 $E(X^2)$ 误当成 $[E(X){]}^2$。

题目 2（真题改编）：设 $X_1,\dots ,X_n$ 独立同分布，$E(X_i)=\mu ,\mathrm{Var}(X_i)={\sigma }^2$。求样本均值 $\overline{X}$ 的期望和方差。

• 已知：$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$。
• 目标：推导 $E(\overline{X}),\mathrm{Var}(\overline{X})$。
• 思路：利用线性性质和独立可加性。
• 分步推导：

1. 期望：$$E(\overline{X})=E(\frac{1}{n}\sum X_i)=\frac{1}{n}\sum E(X_i)=\frac{1}{n}\cdot n\mu =\mu$$
2. 方差：$$\mathrm{Var}(\overline{X})=\mathrm{Var}(\frac{1}{n}\sum X_i)=\frac{1}{n^2}\sum \mathrm{Var}(X_i)=\frac{1}{n^2}\cdot n{\sigma }^2=\frac{{\sigma }^2}{n}$$

• 结论：$E(\overline{X})=\mu ,\mathrm{Var}(\overline{X})=\frac{{\sigma }^2}{n}$。
• 易错点：方差里漏掉平方因子，把 $\frac{1}{n}$ 写成 $\frac{1}{n^2}$ 或反过来。

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四、统计学（数理统计）

1. 置信区间（中等）

• 知识点：区间估计表达参数的不确定性，不是“参数随机变化”。
• 常见变形：
• 已知 $\sigma$ 用 $z$ 区间
• 未知 $\sigma$ 用 $t$ 区间
• 相关考点：区间构造、置信水平解释。

题目 1（基础）：已知总体标准差 $\sigma =10$，样本量 $n=25$，样本均值 $\overline{x}=80$。求总体均值 $\mu$ 的 95% 置信区间。

• 已知：$\sigma$ 已知，置信水平 95%。
• 目标：构造双侧区间。
• 思路：用公式 $\overline{x}\pm z_{0.025}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$，其中 $z_{0.025}=1.96$。
• 分步推导：

1. 标准误：$$\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{10}{5}=2$$
2. 误差限：$$1.96\times 2=3.92$$
3. 区间：$$80\pm 3.92\Rightarrow (76.08,83.92)$$

• 结论：95% 置信区间是 $(76.08,83.92)$。
• 易错点：把 95% 双侧误用成 $z_{0.05}=1.645$。

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2. 假设检验（提高）

• 知识点：检验结论是“拒绝/不拒绝原假设”，不是“证明绝对正确”。
• 常见变形：
• 单侧检验、双侧检验
• p 值法与临界值法
• 相关考点：统计量构造、拒绝域判断、结果解释。

题目 1（真题改编）：某产品标称平均重量 100g。抽样 $n=36$，样本均值 $\overline{x}=103$，已知总体标准差 $\sigma =12$。在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下检验“平均重量是否大于 100g”。

• 已知：正态总体或大样本，$\sigma$ 已知。
• 目标：检验

$$H_0:\mu =100,H_1:\mu >100$$

• 思路：做单侧 z 检验，比较统计量与临界值 $z_{0.05}=1.645$。
• 分步推导：

1. 统计量：$$z=\frac{\overline{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}=\frac{103-100}{12/6}=\frac{3}{2}=1.5$$
2. 比较：$1.5<1.645$，不落入拒绝域。

• 结论：不拒绝 $H_0$，证据不足以支持“平均重量大于 100g”。
• 易错点：把“不拒绝原假设”误说成“原假设一定正确”。

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