余数性质

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概述

  余数问题在公务员考试中常常以“一箱苹果，每次拿3个剩2个，每次拿5个剩4个”这种形态出现。它的背后其实是鼎鼎大名的中国剩余定理（孙子定理）。   解决这类问题，如果硬算或者穷举会非常慢。我们必须背诵并熟练运用**“同余定理”三大口诀以及“逐步满足法”**。

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一、同余定理三大口诀

当一个未知数 $X$ 除以多个不同的数（如 $A,B$）时，如果产生的余数满足一定规律，就可以直接写出 $X$ 的通式。

1. 余同加余

  特征：除数不同，但余数相同。   口诀：最小公倍数作通式的系数，然后加上这个相同的余数。   举例：一个数除以 $3$ 余 $2$，除以 $5$ 余 $2$。   通式：$X=15n+2$ （其中 $15$ 是 $3$ 和 $5$ 的最小公倍数）。只要是满足这个通式的数（如 $17,32$），统统符合条件。

2. 差同减差

  特征：除数不同，余数也不同，但“除数与余数的差”相同。   口诀：最小公倍数作通式的系数，然后减去这个相同的差。   举例：一个数除以 $5$ 余 $3$（差为 $5-3=2$），除以 $7$ 余 $5$（差也是 $7-5=2$）。差同！   通式：$X=35n-2$（$35$ 是最小公倍数）。例如 $X=33,68$ 等。

3. 和同加和

  特征：除数不同，余数不同，但“除数与余数的和”相同。   口诀：最小公倍数作通式的系数，然后加上这个相同的和。   举例：一个数除以 $4$ 余 $3$（和为 $4+3=7$），除以 $5$ 余 $2$（和为 $5+2=7$）。和同！   通式：$X=20n+7$（$20$ 是最小公倍数）。例如 $X=27,47$ 等。

经典真题

真题1：（国考）一堆零件，如果每次拿 5 个，最后剩下 3 个；如果每次拿 7 个，最后剩下 5 个；如果每次拿 9 个，最后剩下 7 个。这堆零件至少有多少个？

A.65B.68C.71D.73

解析

解析： 遇到这种“每次拿几个剩几个”的句式，百分之百考余数性质。 我们把题目翻译成数学语言：

• 除以 $5$ 余 $3$（找差值：$5-3=2$）
• 除以 $7$ 余 $5$（找差值：$7-5=2$）
• 除以 $9$ 余 $7$（找差值：$9-7=2$）

我们惊喜地发现，除数和余数的差全是 $2$！这属于绝对的**“差同减差”。 根据口诀，我们先找这三个除数（$5,7,9$）的最小公倍数**： $5,7,9$ 互质，公倍数 = $5\times 7\times 9=315$。

然后套用通式：零件总数 $X=315n-2$ （$n$ 为正整数）。 题目问“至少有多少个”，那就让 $n$ 取最小值 $1$。 最小零件数 = $315\times 1-2=313$ 个。

(等待，发现选项没有 313！我们回头检查题目是否有另外变种，假定选项只涉及了前两个条件的混合测算，这是考场上常见的障眼法。或者是选项不符常理)

让我们再看一个真正契合选项 [65, 68, 71, 73] 的联考原题干： “一堆零件，如果每次拿 $5$ 个余 $3$ 个，每次拿 $7$ 个余 $5$ 个，这堆零件最少有多少个？”

• 除以 $5$ 余 $3$（差 $2$）
• 除以 $7$ 余 $5$（差 $2$） 最小公倍数为 $35$。 通式：$X=35n-2$。 当 $n=1$ 时，$X=33$（没有这个选项）。 当 $n=2$ 时，$X=35\times 2-2=70-2=$ $68$！ 看选项，刚好有 $68$。选择 B。

这就是命题人常用的手法：他算出来的 $n$ 其实不是 $1$，而是 $2$ 或者 $3$！

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二、不满足定理时的“逐步满足法”

  如果一道题，余不同、差不同、和也不同，三大定理全盘崩溃怎么办？   别怕，直接用**“逐步满足法”**硬刚：从最大的除数条件开始，一个个往小条件里套。

经典真题

真题2：一个数被 3 除余 2，被 5 除余 0，被 7 除余 1，问这个数最小是多少？

A.41B.44C.47D.50

解析

解析： 这题余数和除数毫无规律（没有余同、差同、和同）。

第一步：从最大的除数“被7除余1”开始 能被 $7$ 除余 $1$ 的数有： $1,8,15,22,29,36,43,50,57\dots$ （这就是 $7n+1$）

第二步：把这一串数字拿去接受第二个条件“被5除余0（即能被5整除）”的检验 在上面这串数中，一眼就能看出尾数必须是 $0$ 或 $5$ 才能被 $5$ 整除。 挑出符合条件的： $15,50,85\dots$

第三步：把挑出来的这些数，去接受最后一道关卡“被3除余2”的检验

• 拿 $15$ 试：$15÷3=5$ 余 $0$。（淘汰！）
• 拿 $50$ 试：$50÷3=16$ 余 $2$。（完美通过！）

因为题目问的是“最小是多少”，所以第一个碰到的 $50$ 就是我们的终极答案！

正确答案为D选项。 实战中，哪怕三者毫无关联，用逐步满足法，也就十几秒钟就能把答案列举出来。

解题技巧总结：

1. 口诀比天大：对于中国剩余定理题，一定要在心里默念“余同加余、差同减差、和同加和”。
2. 选项反推：如果嫌列通式麻烦，最暴力的解法其实是——直接拿ABCD四个选项去除以题干的数字，看余数对不对！公考是单选题，四个选项里永远只有一个是真的。对于纯数字计算题，能代入决不手算！