逆推问题 (倒推代入法)

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概述

逆推问题的本质是：

正着算麻烦，倒着还原更快。

它的识别标志非常明显：

• 最后剩多少，原来有多少
• 先做一步，再做一步
• 经过若干轮变化后结果已知

这类题高频考两种方法：

1. 直接倒推
2. 选项代入

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公式速查

原过程	倒推公式	使用方式	对应真题
x → x + a	x = 结果 - a	正向加，倒推减	真题2
x → x - a	x = 结果 + a	正向减，倒推加	真题4
x → kx	x = 结果 ÷ k	正向乘，倒推除	真题5
x → x ÷ k	x = 结果 × k	正向除，倒推乘	真题4
“取一半后再加减”	原量 = (结果 ∓ 变化量) × 2	先逆最后一步，再逆“取一半”	真题1、真题3
多轮变化	从最后一步开始，按相反顺序逐步还原	每一步都要“逆运算 + 逆顺序”	真题1、真题2、真题5

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一、直接倒推

1. 核心思路

把原题中的每一步操作反过来做。

例如：

• 原来是“先减 10，再除以 2”
• 倒推时就应“先乘 2，再加 10”

2. 常见逆运算

• 加 a 的逆运算是减 a
• 减 a 的逆运算是加 a
• 乘 a 的逆运算是除 a
• 除 a 的逆运算是乘 a
• 取一半的逆运算是乘 2

3. 倒推顺序

一定是从最后一步开始，按相反顺序还原。
这点一旦搞错，整题就会错。

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二、逆推题的常见模型

1. 先取一半再加减

这是最典型的分油、分桃、分水题。

2. 多轮重复操作

例如连续两次、三次都做“先减后除”或“先乘后加”的操作。

3. 剩余量反推原始量

这类题直接正推很难，倒推往往每一步都很顺。

4. 年龄、人数、金额的反推

只要题目叙述的是“经过变化后结果已知”，都可能用逆推。

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三、选项代入

如果题目本身倒推不顺，但选项是规整整数，可以直接代入选项验证。

1. 适合代入的特征

• 选项都是整数
• 选项差距较大
• 题目中有整除、倍数、余数条件

2. 代入顺序

通常先代中间项，能更快排除。

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四、经典真题

真题1：某桶油第一次倒出全部的一半后又倒出 10 升，第二次又倒出剩余的一半后再倒出 10 升，这时桶中还剩 20 升。问原来桶中有多少升油？

A.120B.130C.140D.150

解析

解析： 从最后结果开始倒推。

第二次操作后剩 20 升。
说明第二次倒出最后 10 升之前还剩：

$$20+10=30$$

而这 30 升是“倒出一半后剩下的”，所以第二次操作前有：

$$30\times 2=60$$

同理，第一次倒出最后 10 升之前有：

$$60+10=70$$

而这 70 升是第一次倒出一半后剩下的，所以原来有：

$$70\times 2=140$$

正确答案为 C。

真题2：某数先加 20，再乘 2，最后减 10，得 230。问原数是多少？

A.80B.90C.100D.110

解析

解析： 倒推：

$$230+10=240$$$$240÷2=120$$$$120-20=100$$

所以原数是 100。

正确答案为 C。

真题3：一桶油先倒出一半，再倒出 20 升，还剩 50 升。原来有多少升？

A.120B.140C.160D.180

解析

解析： 先逆最后一步：

$$50+20=70$$

再逆“倒出一半”：

$$70\times 2=140$$

所以原来有 140 升。

正确答案为 B。

真题4：某数先减 5，再除以 3，结果为 4。原数是多少？

A.15B.17C.19D.21

解析

解析： 倒推：

$$4\times 3=12$$$$12+5=17$$

所以原数为 17。

正确答案为 B。

真题5：一个数先乘 3，再加 12，最后除以 4 得 21。这个数是多少？

A.18B.24C.30D.36

解析

解析： 倒推：

$$21\times 4=84$$$$84-12=72$$$$72÷3=24$$

所以这个数是 24。

正确答案为 B。

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五、考场易错点

1. 倒推顺序没有完全倒过来。
2. 运算没有做逆运算。
3. 连续多轮操作时少还原一步。
4. 只会正推，不会用代入验证。
5. 题目本来可以逆推，结果硬列复杂方程。

六、这一章的复习重点

逆推题不需要记很多公式，只要记住两件事：

1. 顺序倒过来
2. 运算反过来

这两条掌握了，大多数逆推题都会变得很直接。