周期与植树问题

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概述

周期问题和植树问题看上去完全不像一类题，但它们都在处理同一件事：
一个是“重复到第几位”，一个是“间隔对应几个点”。

这两类题最怕机械套公式。
只要先想清楚下面两个问题，题目就会立刻变简单：

1. 题目是在问“第几个位置”还是“相差了多少步”？
2. 题目是在数“点”还是在数“段”？

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一、周期问题

1. 周期问题的本质

如果某种现象每隔 T 个单位重复一次，那么前 T 个位置确定以后，后面的所有位置都只是不断重复前面的顺序。

所以，周期题本质上就是：

把一个很大的序号，压缩回一个周期里去看它落在哪一格。

这就是为什么周期题一定和“除法取余”有关。

2. 核心公式

设周期长度为 T，要求第 n 个位置对应什么，那么：

$$\text{周期内位置}=((n-1)modT)+1$$

这个公式特别重要，原因是题目中的“第 1 个”应该对应周期中的“第 1 位”，而不是“余数 1”乱套上去。

如果题目已经给了一个起点，比如“已知某月 1 日是星期二，问 30 日是星期几”，那真正变化的是：

$$\text{位移量}=30-1$$

也就是说，不是拿目标数直接除周期，而是拿“目标和起点之间差了多少步”去除周期。

3. 周期题的常见模型

模型 1：星期与日期

• 星期的周期是 7
• 从某一天推到另一天，要看相差天数
• 相差多少天，就往后推多少位

模型 2：轮班与排班

例如甲乙丙丁 4 人轮流值班，第 37 天是谁值班，本质上就是周期为 4 的取余问题。

模型 3：图形、颜色、字母循环

比如红黄蓝红黄蓝……，要求第 100 个颜色是什么，也是完全一样的思路。

4. 经典真题

真题1：某月 1 日是星期二，那么该月 30 日是星期几？

A.星期一B.星期二C.星期三D.星期四

解析

解析： 星期的周期是 7。

从 1 日到 30 日，不是走了 30 天，而是走了：

$$30-1=29\text{天}$$

再用 29 去除以 7：

$$29÷7=4\cdots 1$$

说明相当于从星期二往后推 1 天，所以是：

$$\text{星期二}\to \text{星期三}$$

正确答案为 C。

这题最容易错在两个地方：

1. 直接拿 30 去除以 7
2. 忘了“同一个起点本身不算位移”

5. 余数为 0 怎么办

周期题还有一个常见坑：
如果余数是 0，并不表示“没有位置”，而表示它刚好落在这个周期的最后一位。

例如 5 人轮流值班，问第 20 天是谁值班：

$$20÷5=4\cdots 0$$

余数是 0，说明第 20 天不是“第 0 位”，而是周期中的第 5 位。

真题2：甲、乙、丙、丁四人按顺序轮流值班。若第 1 天是甲值班，则第 40 天是谁值班？

A.甲B.乙C.丙D.丁

解析

解析： 周期长度为 4。

用核心公式：

$$((40-1)mod4)+1=(39mod4)+1=3+1=4$$

也可以直接看：

$$40÷4=10\cdots 0$$

余数为 0，说明落在周期最后一位，也就是第 4 位。

第 4 位对应丁，所以正确答案为 D。

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二、植树问题

1. 植树问题的本质

植树题真正考的不是除法，而是：

路程对应的是“间隔”，树木对应的是“点”。

“点”和“段”天然不是一回事。
只要这层关系不乱，植树题几乎不会做错。

2. 第一步永远先算间隔数

如果总长度为 L，相邻两棵树之间的间距为 d，那么先求：

$$\text{间隔数}=\frac{L}{d}$$

后面到底是加 1、减 1，还是不变，取决于端点算不算。

3. 四类基础公式

模型 1：两端都种

$$\text{棵数}=\text{间隔数}+1$$

因为一共有这么多段，端点两头都占上了，所以点数比段数多 1。

模型 2：只种一端

$$\text{棵数}=\text{间隔数}$$

一头算树，一头不算树，点数和段数正好相等。

模型 3：两端都不种

$$\text{棵数}=\text{间隔数}-1$$

两端都空着，中间才种树，所以点数比段数少 1。

模型 4：封闭路线或环形一圈

$$\text{棵数}=\text{间隔数}$$

因为起点和终点重合，绕一圈回来不会多出那“+1”棵。

4. 双边植树

如果道路两侧都按同样规则种树，那么：

$$\text{双边总棵数}=2\times \text{单边棵数}$$

前提是两边的长度、间距和端点要求都完全一样。

5. 经典真题

真题3：一条长 100 米的道路，从头到尾每隔 5 米种一棵树，两端都种，共需多少棵树？

A.19B.20C.21D.22

解析

解析： 先算间隔数：

$$100÷5=20$$

题目明确说“两端都种”，所以：

$$\text{棵数}=20+1=21$$

正确答案为 C。

记住：
100 米说的是长度，算出来的是 20 个间隔，不是 20 棵树。

6. 环形植树

真题4：在一个周长 100 米的圆形花坛周围，每隔 5 米种一棵树，共需多少棵树？

A.20B.21C.22D.24

解析

解析： 圆形花坛属于封闭路线。

先算间隔数：

$$100÷5=20$$

因为首尾重合，所以：

$$\text{棵数}=\text{间隔数}=20$$

正确答案为 A。

这题和上一题长度、间距都一样，但因为路线从直线变成环形，答案就从 21 变成了 20。
这就是植树题最核心的差别。

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三、植树问题的常见变形

植树题经常不会直接写“种树”，但本质还是点和段的关系。

1. 锯木头

把一根木头锯成 n 段，需要：

$$n-1\text{次}$$

因为原来就有 1 段，每锯一次，段数只会增加 1。

2. 爬楼梯

从 1 楼到 8 楼，要走的不是 8 段楼梯，而是：

$$8-1=7\text{段}$$

因为楼层是“点”，楼梯是“段”。

3. 打孔、安路灯、设电线杆

只要题目出现“每隔多少距离设置一个点位”，都优先往植树模型上靠。

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四、考场易错点

1. 周期题直接拿目标数除周期，忘了先算与起点的位移。
2. 周期题余数为 0 时，不会回到周期最后一位。
3. 植树题把“总长度除间距”得到的间隔数误当成树的棵数。
4. 环形题仍然机械套“两端都种加 1”。
5. 题目问双边总数时，只算了单边。

五、这一类题怎么快速识别

如果题目里出现下面这些词，优先考虑本章模型：

• 周期题关键词：轮流、循环、星期、排班、颜色重复、每隔若干次重复
• 植树题关键词：每隔、等距离、两端、环形、从头到尾、锯成几段、楼层之间

这两类题本身都不难，真正决定对错的，不是算得快不快，而是第一步有没有认出：
一个在数“位置”，一个在数“间隔”。

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