容斥问题 (文氏图与公式法)

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概述

  容斥问题（集合问题）是行测数量关系中几乎每年必考的压轴老熟人。   这类问题通常描述为：“一个班里，喜欢打篮球的有多少人，喜欢踢足球的有多少人，两样都喜欢的有多少人，两样都不喜欢的有多少人...求总人数。”   核心解法分为两派：公式法（极其快速但容易记混）和文氏图法（绝对不会算错的万金油）。

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一、两集合容斥 (基础公式)

  两集合是指题目中只出现了两种属性（比如只讨论篮球 和足球 ）。

  核心公式：   总人数 - 都不满足的人数 = + - 与的交集。   ()

  为什么中间要减去一次交集？看图！

  图形原理解析：当你用 圈 的人数 加上 圈 的人数时，中间那个重叠的区域（、也就是两样都喜欢的人）被你加了两次！为了保证每个人只被统计一次，所以总数必须减掉一次多余的交集。

经典真题

真题1：（国考）某大学某班学生总数为 32 人。在第一次考核中有 26 人及格，在第二次考核中有 24 人及格。若两次考核中，都没有及格的有 4 人。请问两次考核都及格的有多少人？

A.18B.22C.26D.28

解析

解析： 极其纯正的两集合公式题！

第一步：找准各指标的数值 总人数 。 集合 (第一次及格) 。 集合 (第二次及格) 。 两次都没及格的 。 设两次都及格的人数为 （这就是交集 ）。

第二步：代入终极公式 Total - None = 解得：！

两次考核都及格的有 22 人，直接选 B。 不用画图，5秒口算拿分！

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二、三集合容斥 (两套公式与画图法)

  如果题目里出现了三个属性（比如语文、数学、英语的及格情况）。这就是公考数量关系的终极BOSS——三集合容斥。

  公式1 (标准型公式)：适用于题目给了你“同时满足 和”、“同时满足 和”、“同时满足 和”的细节。   总数 - None =   (加三个大圈 减去三个两两交集 加回最核心的三者交集)

  公式2 (非标准核心公式)：适用于题目很笼统，只给出了**“只满足两种的共有多少人”**。   总数 - None =

  但是！一旦遇到“仅喜欢看电影”这种坑爹表述，不要用公式，立刻画三个圈的文氏图！从最中间填起走！

  画图填充法灵魂法则：

• 第一步：一定先找到并且填上**“三个都满足”（最中心）**的数字！
• 第二步：去找“两两交集”的数字。（注意，两两交集是包含了中心的！如果要算“仅AB”，必须拿给定的 的值减去中心值）。
• 第三步：最后通过大圈的总值，减去拼凑好的里面的碎片块，算出“只A”、“只B”的人数。

经典真题

真题2：（国考）对某单位 100名员工进行调查。58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影。既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有 18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有 16人。已知三种都喜欢的有 12人，且每个人必定至少喜欢上面一项。请问：只喜欢看电影的有多少人？

A.18人B.22人C.28人D.30人

解析

解析： 这题用公式法的话很绕脑，但如果是“只喜欢看XX的”，最快、最不费脑子的解法是直接填文氏图！

第一步：确定最中心的数字。 题目说“三种都喜欢的有 12人”。 所以中心点 。

第二步：剥离出“只有喜欢两个条件”的人。 题目问“只喜欢看电影的”。我们聚焦在“电影”这个圈（大圈总共有 52人）。 电影圈里包含了4块区域：【只电影】+【仅电影和戏剧】+【仅电影和球赛】+【三个都喜欢】。

已知：既喜欢电影又喜欢戏剧（影剧） 人。 注意！这 16 人里包含了那三个都喜欢的 12 人。 所以，“仅喜欢电影和戏剧” 人。

同理，既喜欢球赛又喜欢电影（影球）是几个人？题目...竟然没给？！ 看来这组真题我们需要用一次公式来把它求出来： 总人数 (题目说没人啥都不喜欢，None=0)。 解得：既喜欢球赛又喜欢电影 人。

那么，“仅喜欢球赛和电影” 人。

第三步：锁定目标求解。 看回那个可怜的“电影大圈”（总共含有 52 个人）。 这52个人是由什么组成的？ **只看电影的人 = ** 人！

完美印证了答案 B。 当你遇到三集合，先把交集列出，公式跑出未知边缘条件，然后再用“大圆剔除法”剔除里头的小块碎片，所有“只属于”的狡猾问法都将如纸糊一般脆弱。

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