数列与牛吃草问题

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概述

这一章其实是两个看起来不相关、但都很“规律化”的模型：

1. 等差、等比数列
2. 牛吃草（消长问题）

它们的共同点是：
题目表面变化很多，但公式非常固定，识别后就不该再硬算。

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一、等差数列

1. 定义

如果一个数列中，后项减前项的差恒定为同一个数 d，就叫等差数列。

2. 核心公式

通项公式

$$a_n=a_1+(n-1)d$$

前 n 项和

$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$$

也可写成：

$$S_n=\frac{n[2a_1+(n-1)d]}{2}$$

3. 中项性质

若项数是奇数，中间那一项乘项数就是总和：

$$S_n=a_{\text{中项}}\times n$$

这是行测里非常实用的速算结论。

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二、等比数列

1. 定义

如果一个数列中，后项与前项的比恒为同一个常数 q，就叫等比数列。

2. 核心公式

通项公式

$$a_n=a_1{q}^{n-1}$$

前 n 项和

当 $q\ne 1$ 时：

$$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$

或写成：

$$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$$

3. 公考中怎么考

公考对等比数列通常不会考复杂证明，更多是：

• 翻倍、翻三倍
• 每轮增长固定倍数
• 末项、总和、轮次数之间的换算

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三、数列应用题的高频模型

1. 排队、排座位、楼梯、台阶

如果相邻两项固定加减某个数，优先判断为等差数列。

2. 利息、倍增、细胞分裂

如果每次都按固定倍数变化，优先判断为等比数列。

3. 中间项与总和

若题目给了奇数项、求总和，中间项法通常比从头加更快。

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四、牛吃草问题

1. 本质

牛吃草题不是普通工程题，因为草地本身还在增长。
它的本质是：

一边在消耗，一边在补充。

所以它也叫消长问题。

2. 标准模型

设：

• 原有草量为 Y
• 每天草的生长量为 x
• 牛的头数为 N
• 吃完所需时间为 T

则有核心公式：

$$Y=(N-x)T$$

这表示：
原有草量 = 每天净减少量 × 天数。

3. 为什么是 N-x

每天牛要吃掉 N 份草，但草会长出 x 份，所以每天真正减少的是：

$$N-x$$

4. 题目常见外衣

除了真牛吃草，还常包装成：

• 水池抽水但同时进水
• 仓库出货但同时进货
• 沙漏漏沙但同时补沙

只要是一边增加一边减少，都能往这个模型上靠。

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五、经典真题

真题1：一个阶梯教室共有 15 排座位。已知最后一排有 38 个座位，且往前每一排都比后一排少 2 个座位。问这个教室第 8 排有多少个座位？

A.22B.23C.24D.25

解析

解析： 这是等差数列。

已知：

• 第 15 排是 38
• 公差为 2

从第 15 排往前推到第 8 排，相差 7 个公差：

$$38-7\times 2=24$$

所以第 8 排有 24 个座位。

正确答案为 C。

真题2：等差数列 2，5，8，…，第 9 项为 26，前 9 项和是多少？

A.90B.108C.120D.126

解析

解析： 前 9 项和公式：

$$S_9=\frac{9(2+26)}{2}$$

即：

$$9\times 14=126$$

正确答案为 D。

真题3：牧场有一片青草，每天青草都在匀速生长。这片牧场可供 27 头牛吃 6 天，或者可供 23 头牛吃 9 天。请问，如果放 21 头牛，可供吃多少天？

A.10B.12C.14D.15

解析

解析： 设原有草量为 Y，每天生长量为 x。

由两组条件得：

$$Y=(27-x)\times 6$$$$Y=(23-x)\times 9$$

联立：

$$6(27-x)=9(23-x)$$

解得：

$$x=15$$

代回求原有草量：

$$Y=(27-15)\times 6=72$$

若放 21 头牛，则：

$$72=(21-15)T$$

所以：

$$T=12$$

正确答案为 B。

真题4：某片草地可供 20 头牛吃 10 天，或供 15 头牛吃 20 天。若放 30 头牛，可供吃多少天？

A.4B.5C.6D.7

解析

解析：

$$Y=(20-x)\times 10$$$$Y=(15-x)\times 20$$

联立得：

$$x=10,Y=100$$

则放 30 头牛时：

$$100=(30-10)T$$

得：

$$T=5$$

正确答案为 B。

真题5：某水池有固定进水量。12 台抽水机 6 小时可抽干，8 台抽水机 12 小时可抽干。若用 16 台抽水机，需要几小时抽干？

A.3B.4C.5D.6

解析

解析： 与牛吃草同理。

设原有水量为 Y，每小时进水量为 x。

$$Y=(12-x)\times 6$$$$Y=(8-x)\times 12$$

解得：

$$x=4,Y=48$$

若用 16 台抽水机：

$$48=(16-4)T$$

得：

$$T=4$$

正确答案为 B。

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六、考场易错点

1. 等差数列把项数和公差关系写错。
2. 中项法适用于奇数项，却在偶数项里乱用。
3. 牛吃草题把每天增长量和原有草量混掉。
4. 牛吃草题忘了“净减少量”是 N-x，不是 N+x。
5. 把消长问题误当成普通工程题处理。

七、这一章的复习重点

这章真正该背熟的是：

1. 等差通项与求和
2. 等比通项与求和
3. 牛吃草核心式 Y=(N-x)T

只要把这三个部分练熟，这类题会非常稳定。