数列与牛吃草问题

概述

这一章其实是两个看起来不相关、但都很“规律化”的模型：

等差、等比数列
牛吃草（消长问题）

它们的共同点是：
题目表面变化很多，但公式非常固定，识别后就不该再硬算。

一、等差数列

1. 定义

如果一个数列中，后项减前项的差恒定为同一个数 d，就叫等差数列。

2. 核心公式

通项公式

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

符号含义：

$a_{n}$ ：数列的第 $n$ 项的值。
$a_{1}$ ：数列的第 1 项，也叫首项。
$n$ ：项数；在 $a_{n}$ 中表示第 $n$ 项的序号。
$d$ ：等差数列的公差，即相邻两项中后一项减前一项所得的固定差。

前 n 项和

S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2}

符号含义：

$S_{n}$ ：数列前 $n$ 项的和。
$a_{1}$ ：数列的第 1 项，也叫首项。
$a_{n}$ ：数列的第 $n$ 项的值。
$n$ ：项数；在 $a_{n}$ 中表示第 $n$ 项的序号。

也可写成：

S_{n} = \frac{n [2 a_{1} + (n - 1) d]}{2}

符号含义：

$S_{n}$ ：数列前 $n$ 项的和。
$a_{1}$ ：数列的第 1 项，也叫首项。
$n$ ：项数；在 $a_{n}$ 中表示第 $n$ 项的序号。
$d$ ：等差数列的公差，即相邻两项中后一项减前一项所得的固定差。

3. 中项性质

若项数是奇数，中间那一项乘项数就是总和：

S_{n} = a_{中项} \times n

符号含义：

$a_{中项}$ ：奇数项等差数列中位于正中间的那一项。
$S_{n}$ ：数列前 $n$ 项的和。
$n$ ：项数；在 $a_{n}$ 中表示第 $n$ 项的序号。

这是行测里非常实用的速算结论。

二、等比数列

1. 定义

如果一个数列中，后项与前项的比恒为同一个常数 q，就叫等比数列。

2. 核心公式

通项公式

a_{n} = a_{1} q^{n - 1}

符号含义：

$a_{n}$ ：数列的第 $n$ 项的值。
$n$ ：项数；在 $a_{n}$ 中表示第 $n$ 项的序号。

前 n 项和

当 $q \neq 1$ 时：

S_{n} = \frac{a_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}

符号含义：

$S_{n}$ ：数列前 $n$ 项的和。
$a_{1}$ ：数列的第 1 项，也叫首项。
$q$ ：等比数列的公比，即相邻两项中后一项除以前一项所得的固定比值。
$n$ ：项数；在 $a_{n}$ 中表示第 $n$ 项的序号。

或写成：

S_{n} = \frac{a_{1} (q^{n} - 1)}{q - 1}

符号含义：

$S_{n}$ ：数列前 $n$ 项的和。
$a_{1}$ ：数列的第 1 项，也叫首项。
$q$ ：等比数列的公比，即相邻两项中后一项除以前一项所得的固定比值。
$n$ ：项数；在 $a_{n}$ 中表示第 $n$ 项的序号。

3. 公考中怎么考

公考对等比数列通常不会考复杂证明，更多是：

翻倍、翻三倍
每轮增长固定倍数
末项、总和、轮次数之间的换算

三、数列应用题的高频模型

1. 排队、排座位、楼梯、台阶

如果相邻两项固定加减某个数，优先判断为等差数列。

例题1：电影院共有 12 排座位。第 1 排有 10 个座位，之后每一排都比前一排多 2 个座位。问第 12 排有多少个座位？

A.28B.30C.32D.34

解析

解析： 这类题的关键词是“每一排都比前一排多 2 个”，说明相邻两项的差固定，属于等差数列。

已知：

首项 $a_{1} = 10$
公差 $d = 2$
要求第 $12$ 项，即 $n = 12$

代入等差数列通项公式：

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

所以：

a_{12} = 10 + (12 - 1) \times 2

计算得：

a_{12} = 10 + 22 = 32

所以第 12 排有 32 个座位。

正确答案为 C。

2. 利息、倍增、细胞分裂

如果每次都按固定倍数变化，优先判断为等比数列。

例题2：某种细菌每 1 小时数量变为原来的 2 倍。开始时有 4 个细菌，经过 4 小时后共有多少个细菌？

A.48B.54C.64D.81

解析

解析： 这类题的关键词是“每次变为原来的 2 倍”，说明每一项与前一项的比固定，属于等比数列。

已知：

初始数量为 $4$
每小时变为原来的 $2$ 倍
经过 $4$ 小时

逐小时变化为：

4 \to 8 \to 16 \to 32 \to 64

也可以直接写成：

4 \times 2^{4} = 64

这里的 $2^{4}$ 表示连续翻倍 4 次。

所以经过 4 小时后共有 64 个细菌。

正确答案为 C。

3. 中间项与总和

若题目给了奇数项、求总和，中间项法通常比从头加更快。

例题3：某等差数列共有 9 项，其中中间一项是 15。问这 9 项的和是多少？

A.135B.145C.155D.165

解析

解析： 这类题的关键词是“共有 9 项”和“中间一项是 15”。9 是奇数，等差数列的中间项正好位于第 5 项。

等差数列奇数项求和时，可以用中间项法：

S_{n} = a_{中项} \times n

已知：

中间项 $a_{中项} = 15$
项数 $n = 9$

代入公式：

S_{9} = 15 \times 9 = 135

所以这 9 项的和是 135。

正确答案为 A。

四、牛吃草问题

1. 本质

牛吃草题不是普通工程题，因为草地本身还在增长。它的本质是：

一边在消耗，一边在补充。

所以它也叫消长问题。

2. 标准模型

设：

原有草量为 Y
每天草的生长量为 x
牛的头数为 N
吃完所需时间为 T

则有核心公式：

Y = (N - x) T

符号含义：

$Y$ ：原有草量，即开始时草地已有的草量。
$N$ ：题中设定的总数、人数或数量参数，具体含义见公式前文字。
$x$ ：题中设出的未知量或变量，具体含义见设元说明。
$T$ ：总量、周期或时间参数，具体含义见公式前文字。

这表示：
原有草量 = 每天净减少量 × 天数。

3. 为什么是 `N-x`

每天牛要吃掉 N 份草，但草会长出 x 份，所以每天真正减少的是：

N - x

符号含义：

$N$ ：题中设定的总数、人数或数量参数，具体含义见公式前文字。
$x$ ：题中设出的未知量或变量，具体含义见设元说明。

4. 题目常见外衣

除了真牛吃草，还常包装成：

水池抽水但同时进水
仓库出货但同时进货
沙漏漏沙但同时补沙

只要是一边增加一边减少，都能往这个模型上靠。

五、经典真题

真题1：一个阶梯教室共有 15 排座位。已知最后一排有 38 个座位，且往前每一排都比后一排少 2 个座位。问这个教室第 8 排有多少个座位？

A.22B.23C.24D.25

解析

解析： 这是等差数列。

已知：

第 15 排是 38
公差为 2

从第 15 排往前推到第 8 排，相差 7 个公差：

38 - 7 \times 2 = 24

所以第 8 排有 24 个座位。

正确答案为 C。

真题2：等差数列 2，5，8，…，第 9 项为 26，前 9 项和是多少？

A.90B.108C.120D.126

解析

解析： 前 9 项和公式：

S_{9} = \frac{9 (2 + 26)}{2}

即：

9 \times 14 = 126

正确答案为 D。

真题3：牧场有一片青草，每天青草都在匀速生长。这片牧场可供 27 头牛吃 6 天，或者可供 23 头牛吃 9 天。请问，如果放 21 头牛，可供吃多少天？

A.10B.12C.14D.15

解析

解析： 设原有草量为 Y，每天生长量为 x。

由两组条件得：

Y = (27 - x) \times 6

符号含义：

$Y$ ：原有草量，即开始时草地已有的草量。
$x$ ：题中设出的未知量或变量，具体含义见设元说明。

Y = (23 - x) \times 9

符号含义：

$Y$ ：原有草量，即开始时草地已有的草量。
$x$ ：题中设出的未知量或变量，具体含义见设元说明。

联立：

6 (27 - x) = 9 (23 - x)

符号含义：

$x$ ：题中设出的未知量或变量，具体含义见设元说明。

解得：

x = 15

符号含义：

$x$ ：题中设出的未知量或变量，具体含义见设元说明。

代回求原有草量：

Y = (27 - 15) \times 6 = 72

符号含义：

$Y$ ：原有草量，即开始时草地已有的草量。

若放 21 头牛，则：

72 = (21 - 15) T

符号含义：

$T$ ：总量、周期或时间参数，具体含义见公式前文字。

所以：

T = 12

符号含义：

$T$ ：总量、周期或时间参数，具体含义见公式前文字。

正确答案为 B。

真题4：某片草地可供 20 头牛吃 10 天，或供 15 头牛吃 20 天。若放 30 头牛，可供吃多少天？

A.4B.5C.6D.7

解析

解析：

Y = (20 - x) \times 10

符号含义：

$Y$ ：原有草量，即开始时草地已有的草量。
$x$ ：题中设出的未知量或变量，具体含义见设元说明。

Y = (15 - x) \times 20

符号含义：

$Y$ ：原有草量，即开始时草地已有的草量。
$x$ ：题中设出的未知量或变量，具体含义见设元说明。

联立得：

x = 10, Y = 100

符号含义：

$x$ ：题中设出的未知量或变量，具体含义见设元说明。
$Y$ ：原有草量，即开始时草地已有的草量。

则放 30 头牛时：

100 = (30 - 10) T

符号含义：

$T$ ：总量、周期或时间参数，具体含义见公式前文字。

得：

T = 5

符号含义：

$T$ ：总量、周期或时间参数，具体含义见公式前文字。

正确答案为 B。

真题5：某水池有固定进水量。12 台抽水机 6 小时可抽干，8 台抽水机 12 小时可抽干。若用 16 台抽水机，需要几小时抽干？

A.3B.4C.5D.6

解析

解析： 与牛吃草同理。

设原有水量为 Y，每小时进水量为 x。

Y = (12 - x) \times 6

符号含义：

$Y$ ：原有草量，即开始时草地已有的草量。
$x$ ：题中设出的未知量或变量，具体含义见设元说明。

Y = (8 - x) \times 12

符号含义：

$Y$ ：原有草量，即开始时草地已有的草量。
$x$ ：题中设出的未知量或变量，具体含义见设元说明。

解得：

x = 4, Y = 48

符号含义：

$x$ ：题中设出的未知量或变量，具体含义见设元说明。
$Y$ ：原有草量，即开始时草地已有的草量。

若用 16 台抽水机：

48 = (16 - 4) T

符号含义：

$T$ ：总量、周期或时间参数，具体含义见公式前文字。

得：

T = 4

符号含义：

$T$ ：总量、周期或时间参数，具体含义见公式前文字。

正确答案为 B。

六、考场易错点

等差数列把项数和公差关系写错。
中项法适用于奇数项，却在偶数项里乱用。
牛吃草题把每天增长量和原有草量混掉。
牛吃草题忘了“净减少量”是 N-x，不是 N+x。
把消长问题误当成普通工程题处理。

七、这一章的复习重点

这章真正该背熟的是：

等差通项与求和
等比通项与求和
牛吃草核心式 Y=(N-x)T

只要把这三个部分练熟，这类题会非常稳定。

数列形式

图形形式

解题思想

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