浓度问题 (十字交叉与不变量)

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概述

浓度问题的核心永远围绕两个量：

• 溶质
• 溶液

浓度公式：

$$\text{浓度}=\frac{\text{溶质}}{\text{溶液}}$$

公考高频考两类：

1. 溶质不变型：加水、蒸发、倒出再加水
2. 混合型：两种不同浓度溶液混合

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一、浓度的基础关系

1. 基本公式

$$\text{浓度}=\frac{\text{溶质}}{\text{溶液总量}}$$

所以：

$$\text{溶质}=\text{浓度}\times \text{总量}$$

2. 溶质不变

如果只是：

• 加纯水
• 蒸发水分

那么改变的是总量，不变的是溶质。

这是浓度题最重要的核心。

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二、溶质不变型

1. 加水稀释

加入的是纯水，所以盐、糖等溶质的量不变。

2. 蒸发浓缩

蒸发掉的是水，所以溶质仍然不变。

3. 倒出一部分再补水

这类题要注意：

• 倒出的是“按原浓度混合的部分”
• 补进来的若是纯水，则溶质量会先减少后固定

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三、混合型

1. 总量法

混合后总溶质量：

$$m=m_1+m_2$$

总溶液量：

$$V=V_1+V_2$$

新浓度：

$$\frac{m_1+m_2}{V_1+V_2}$$

2. 十字交叉法

若已知两种浓度和目标浓度，要求混合比例，则可直接用十字交叉。

设低浓度为 a，高浓度为 b，目标浓度为 c，则两种溶液的质量比为：

$$(b-c):(c-a)$$

注意顺序：

低浓度 : 高浓度 = 高减中 : 中减低

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四、经典真题

真题1：一杯浓度为 20% 的盐水 400 克。如果要将它的浓度稀释到 16%，需要加入多少克纯水？

A.100B.150C.200D.250

解析

解析： 原来盐的质量为：

$$400\times 20\mathrm{\%}=80$$

加水后盐量不变，仍为 80 克。
新浓度是 16%，所以新总量为：

$$80÷16\mathrm{\%}=500$$

需要加水：

$$500-400=100$$

正确答案为 A。

真题2：现有浓度为 15% 和 30% 的两种盐水。如果想混合得到浓度为 24% 的盐水，请问需要取用这两种盐水的质量之比是多少？（15%盐水 : 30%盐水）

A.3:2B.2:3C.1:2D.2:1

解析

解析： 十字交叉法：

$$15\mathrm{\%}:30\mathrm{\%}=(30-24):(24-15)=6:9=2:3$$

所以：

$$15\mathrm{\%}\text{盐水}:30\mathrm{\%}\text{盐水}=2:3$$

正确答案为 B。

真题3：100 克 20% 盐水加水后浓度变为 10%，则新溶液总质量是多少？

A.180B.190C.200D.210

解析

解析： 原盐量：

$$100\times 20\mathrm{\%}=20$$

加水后盐量不变，所以新总量：

$$20÷10\mathrm{\%}=200$$

正确答案为 C。

真题4：40 克浓度 15% 的盐水与 60 克浓度 25% 的盐水混合，混合后含盐多少克？

A.18B.20C.21D.24

解析

解析： 第一部分含盐：

$$40\times 15\mathrm{\%}=6$$

第二部分含盐：

$$60\times 25\mathrm{\%}=15$$

总含盐：

$$6+15=21$$

正确答案为 C。

真题5：100 克 20% 盐水蒸发掉 20 克水后，浓度变为多少？

A.20%B.22%C.24%D.25%

解析

解析： 原盐量：

$$100\times 20\mathrm{\%}=20$$

蒸发掉的是水，所以盐量不变。
新总量：

$$100-20=80$$

新浓度：

$$20÷80=25\mathrm{\%}$$

正确答案为 D。

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五、考场易错点

1. 加水、蒸发时忘了溶质不变。
2. 混合题不会先分别算溶质。
3. 十字交叉法的比例顺序写反。
4. 把浓度变化误理解成溶质量变化。
5. 倒出一部分再补水时，没有意识到溶质已经被倒走一部分。

六、这一章的复习重点

浓度题真正要掌握的是：

1. 溶质不变
2. 浓度 = 溶质 / 总量
3. 十字交叉法求比例

抓住这三点，浓度题会非常稳。