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比赛问题 (单循环与淘汰赛) ​

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概述 ​

比赛问题在公考里经常披着“赛制常识题”的外衣，但本质上非常固定。
真正高频只考三类：

  1. 单循环赛
  2. 双循环赛
  3. 单场淘汰赛

只要把不同赛制背后的“每场比赛到底消耗了什么”想明白，比赛题几乎都能秒杀。

单循环ABCD总场次 = C(n,2)淘汰赛12胜者冠军淘汰 1 队，少 1 队总场次 = n - 1

一、单循环赛 ​

1. 什么叫单循环 ​

如果有 n 个队或 n 个人参赛，且每两个参赛者之间都恰好比赛 1 场，这就是单循环赛。

2. 总场次公式 ​

本质上是从 n 个参赛者里任取 2 个组成一场比赛，因此：

总场次=Cn2=n(n−1)2

3. 为什么是组合不是排列 ​

因为“甲对乙”和“乙对甲”在单循环里是同一场比赛，不区分顺序。

4. 常见变形 ​

如果题目问某一位选手要打几场，那么答案是：

n−1

因为他只需要和另外 n-1 个对手各打一场。

二、双循环赛 ​

1. 什么叫双循环 ​

每两个参赛者之间要比赛 2 场，例如主客场各打一场。

2. 总场次公式 ​

单循环是 C_n^2 场，双循环就是它的两倍：

2Cn2=n(n−1)

也可以理解为有顺序的两次对阵，结果与排列数 A_n^2 相同。

三、单场淘汰赛 ​

1. 核心结论 ​

如果有 n 名参赛者参加单场淘汰赛，最终决出 1 个冠军，则总场次永远是：

n−1

2. 为什么是 n-1 ​

因为单场淘汰赛每打 1 场，就淘汰 1 个人。
最后只剩 1 个人，所以总共必须淘汰：

n−1

个人，因此总场次也就是：

n−1

这个结论和中间有没有轮空无关。

3. 多轮之后剩多少人 ​

如果一轮比赛后人数减半，那么连续进行 k 轮后，剩余人数为：

n2k

前提是每轮都刚好配对完成。

四、比赛问题的其他常见问法 ​

1. 一共握手多少次 ​

如果 n 个人每两人握手一次，这和单循环赛完全同型：

Cn2

2. 某队需要打多少场 ​

  • 单循环：n-1
  • 双循环：2(n-1)

3. 淘汰赛中某一轮的场次 ​

如果某轮开始前还有 m 人，则该轮场次为：

m2

前提是没人轮空。

五、经典真题 ​

真题1：某单位举办乒乓球单打比赛，共有 7 名员工报名参加。采用单循环赛制，即每两名员工之间都要打一场。请问总共需要进行多少场比赛？
解析

解析： 单循环赛总场次公式：

Cn2=n(n−1)2

代入 n=7：

7×62=21

正确答案为 B。

真题2：某市举办一届网球单打淘汰赛。共有 128 名选手报名参加。比赛规定，输一场直接淘汰，胜者晋级，直到决出最终冠军。请问这届比赛一共要安排多少场对决？
解析

解析： 单场淘汰赛总场次恒为：

n−1

所以：

128−1=127

正确答案为 C。

真题3：6 支队伍进行双循环赛，共要比赛多少场？
解析

解析： 双循环赛总场次：

n(n−1)

代入 n=6：

6×5=30

如果按这里的选项，缺少正确项，说明原题选项不匹配。
本题正确结果应为 30 场。

真题4：16 人参加淘汰赛，连续进行两轮后还剩多少人？
解析

解析： 第一轮后人数减半：

16÷2=8

第二轮后再减半：

8÷2=4

所以还剩 4 人。

正确答案为 A。

真题5：11 个人每两人握手一次，共要握手多少次？
解析

解析： 握手问题与单循环赛同型：

C112=11×102=55

如果按当前选项，正确值不在选项内，原题选项有误。
正确结果应为 55 次。

六、考场易错点 ​

  1. 单循环和双循环混掉。
  2. 单循环误把比赛双方顺序区分，错用排列。
  3. 淘汰赛仍然一轮一轮慢慢加，而不会直接用 n-1。
  4. 握手问题没认出和比赛题是同一个模型。
  5. 题目问的是“某队打几场”，却去算总场次。

七、这一章的复习重点 ​

比赛问题真正要熟的不是故事，而是赛制：

  1. 单循环：C_n^2
  2. 双循环：n(n-1)
  3. 单淘汰：n-1

把这三件事记稳，比赛题基本不会错。