工程问题 (赋值法核心)

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概述

工程问题本质上和行程题一样，只有三个量：

• 工作总量 W
• 工作效率 P
• 工作时间 t

核心公式：

$$W=Pt$$

但公考工程题最大的特点是：
题目经常不给总量，只给时间或效率比。
所以工程题真正的灵魂不是设未知数，而是赋值法。

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一、工程问题的基本关系

1. 三量关系

$$W=Pt,P=\frac{W}{t},t=\frac{W}{P}$$

2. 合作效率

几个人合作时，总效率等于各自效率之和：

$$P_{\text{合}}=P_1+P_2+\cdots$$

3. 剩余工程量

如果先做一部分，再换人或合作，本质上就是：

$$\text{总量}=\text{已做量}+\text{剩余量}$$

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二、赋值法

1. 只给时间时

如果题目只给出“甲单独做 10 天，乙单独做 15 天”，最稳妥的做法是把总量赋值为这些时间的最小公倍数。

例如：

$$\text{LCM}(10,15)=30$$

则：

• 甲效率 =30/10=3
• 乙效率 =30/15=2

2. 给效率比时

如果题目给出“甲乙效率比为 2:3”，就可以直接赋：

• 甲效率 = 2
• 乙效率 = 3

然后再反推总量。

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三、工程问题的高频模型

1. 单独做与合作做

最基础的工程题，高频送分。

2. 先合作再单做

先求前一段做了多少，再算剩余量。

3. 效率比问题

直接给效率份数，再乘时间求总量。

4. 轮流做、间歇做

本质上也是分段效率累加。

5. 边做边坏、边做边增

这种会往牛吃草模型靠。

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四、经典真题

真题1：修一条水渠，甲工程队单独修需要 10 天完成，乙工程队单独修需要 15 天完成。如果两队合作，请问几天可以修完？

A.6B.8C.10D.12

解析

解析： 总量赋值为 10 和 15 的最小公倍数：

$$W=30$$

则：

• 甲效率 =30/10=3
• 乙效率 =30/15=2

合作效率：

$$3+2=5$$

合作时间：

$$30÷5=6$$

正确答案为 A。

真题2：一项工程，甲单独做 12 天完成，乙单独做 18 天完成。两人合作需要多少天？

A.6B.8C.10D.12

解析

解析： 总量赋值为：

$$\text{LCM}(12,18)=36$$

甲效率：

$$36÷12=3$$

乙效率：

$$36÷18=2$$

合作效率：

$$3+2=5$$

合作时间：

$$36÷5=7.2$$

正确答案应为 7.2 天。
若按当前选项，则原题选项不匹配。

真题3：甲、乙、丙三个工程队完成一项工程的效率之比为 2:3:4。若甲单独做需要 54 天完成，那么三队合作需要多少天？

A.10B.12C.15D.18

解析

解析： 设甲、乙、丙效率分别为：

$$2,3,4$$

甲 54 天完成，因此总量为：

$$2\times 54=108$$

三队合作效率：

$$2+3+4=9$$

合作时间：

$$108÷9=12$$

正确答案为 B。

真题4：甲 10 天完成，乙 15 天完成。若两人合作 4 天后停止，剩余工程量是多少？（按最小公倍数赋值）

A.10B.12C.14D.16

解析

解析： 总量设为：

$$30$$

甲、乙效率分别为：

$$3,2$$

合作 4 天完成：

$$(3+2)\times 4=20$$

剩余工程量：

$$30-20=10$$

正确答案应为 10。
若按当前选项不含 10，则原题选项不匹配。

真题5：甲单独做 6 天完成，乙单独做 3 天完成。乙先做 1 天后，甲乙合做，还需几天完成？

A.1B.4/3C.3/2D.2

解析

解析： 总量设为：

$$6$$

则：

• 甲效率 =1
• 乙效率 =2

乙先做 1 天，完成：

$$2$$

剩余：

$$6-2=4$$

甲乙合作效率：

$$1+2=3$$

还需时间：

$$4÷3$$

正确答案为 B。

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五、考场易错点

1. 题目不给总量，还硬设总量为 1，导致分数运算很乱。
2. 效率比不会直接赋值。
3. 先做一段再合作时，忘了先扣掉已完成量。
4. 合作效率不是平均数，而是各自效率直接相加。
5. 把工程问题和牛吃草问题混掉。

六、这一章的复习重点

工程题最值得练的不是列方程，而是：

1. 给时间就赋总量
2. 给比例就赋效率
3. 分段做题先算已做量，再算剩余量

掌握这三条，工程题会很稳。