盈亏问题 (分配问题)

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概述

盈亏问题本质上是“同一批东西，按不同标准分配，结果出现了盈余或不足”。
这类题真正的关键不是故事，而是两个差：

1. 总差额
2. 每份差额

只要这两个差算对，题目基本就出来了。

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一、盈亏问题的核心公式

设分配对象数为 n。

则：

$$n=\frac{\text{两次总差额}}{\text{两次每份差额}}$$

这里的“每份差额”指的是两次分配标准之差。

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二、三种基本类型

1. 一盈一亏

例如：

• 每人分 6 个，多 12 个
• 每人分 7 个，少 11 个

则总差额为：

$$12+11$$

2. 两盈

例如：

• 每人分 6 个，多 15 个
• 每人分 7 个，多 5 个

则总差额为：

$$15-5$$

3. 两亏

例如：

• 每人分 25 个，还差 30 个
• 每人分 30 个，还差 60 个

则总差额为：

$$60-30$$

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三、常见变形

1. 一盈一平

“刚好分完”可以看作盈亏量为 0。

2. 一亏一平

同样，把“刚好分完”看作 0。

3. 先求人数再求总量

大多数盈亏题都是两步走：

1. 先求对象数
2. 再代回某个方案求总量

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四、经典真题

真题1：老猴子给小猴子分梨。如果每只小猴子分 6 个梨，多出 12 个；如果每只小猴子分 7 个梨，少 11 个。问有多少只小猴子和多少个梨？

A.23, 140B.23, 150C.25, 150D.25, 160

解析

解析： 这是一盈一亏型。

总差额：

$$12+11=23$$

每只猴子两次分配差额：

$$7-6=1$$

所以小猴子数量为：

$$23÷1=23$$

再代回第一种分配方案求梨总数：

$$23\times 6+12=150$$

所以共有 23 只小猴子，150 个梨。

正确答案为 B。

真题2：某校学生列队做操。如果每行站 25 人，还差 30 人；如果每行站 30 人，还差 60 人。问共有多少行、多少名学生？

A.5, 120B.6, 120C.5, 150D.6, 150

解析

解析： 这是两亏型。

总差额：

$$60-30=30$$

每行差额：

$$30-25=5$$

行数为：

$$30÷5=6$$

学生总数：

$$6\times 25-30=120$$

所以共有 6 行，120 人。

正确答案为 B。

真题3：每人分 4 个苹果，多 8 个；每人分 5 个苹果，少 10 个。问有多少人？

A.18B.20C.22D.24

解析

解析： 一盈一亏，总差额：

$$8+10=18$$

每份差额：

$$5-4=1$$

人数为：

$$18÷1=18$$

正确答案为 A。

真题4：每人分 4 个苹果，多 8 个；每人分 5 个苹果，少 10 个。问共有多少个苹果？

A.72B.80C.88D.96

解析

解析： 由上题可知人数为 18。

则苹果总数为：

$$18\times 4+8=80$$

正确答案为 B。

真题5：每桌坐 4 人多 6 人，每桌坐 5 人少 3 人。问共有多少桌？

A.6B.8C.9D.10

解析

解析： 一盈一亏，总差额：

$$6+3=9$$

每桌差额：

$$5-4=1$$

桌数为：

$$9÷1=9$$

正确答案为 C。

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五、考场易错点

1. 一盈一亏时忘了把两个差额相加。
2. 两盈、两亏时不会做“大减小”。
3. 求出对象数后忘了代回求总量。
4. “刚好分完”不会当成 0 处理。
5. 把每份差额和总差额混掉。

六、这一章的复习重点

盈亏题最该记住的是：

1. 类型判断
2. 总差额怎么取
3. 每份差额怎么取

这三步做对，盈亏题就很快。