递推数列

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概述

  递推数列的核心特征是：从第三项开始，后一项由前一项或前两项“算出来”。这类题不一定长得整齐，但一旦找到递推关系，后续计算通常非常直接。

  公考中最常见的递推思路有三类：

1. 递推和、递推差：前两项相加或相减得到第三项。
2. 递推倍数：前两项按固定系数组合得到第三项。
3. 递推平方/立方：某一项与前项的平方、立方或“幂次邻居”有关。

  做题时建议使用 “圈三项”：优先圈出连续三项，观察前两项通过什么运算可以稳定推出第三项。

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一、递推和、差数列

  如果数列增减幅度不大、做差后也不明显，优先考虑“前两项凑第三项”。常见形式有：

• A + B = C
• A + B + 常数 = C
• A - B = C
• A - B ± 常数 = C

经典真题

真题1：1，2，4，7，12，( )

A.19B.20C.21D.22

解析

解析： 先圈三项看关系：

• $1+2+1=4$
• $2+4+1=7$
• $4+7+1=12$

规律非常整齐：前两项之和再加 1 等于第三项。

所以下一项为：

$$7+12+1=20$$

正确答案为 B。

真题2：21，13，8，5，3，( )

A.1B.2C.3D.4

解析

解析： 观察到数列单调递减，且相邻项之间差距平缓，优先考虑递推差：

• $21-13=8$
• $13-8=5$
• $8-5=3$

规律成立：前一项减去后一项等于第三项。

因此下一项为：

$$5-3=2$$

正确答案为 B。

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二、递推倍数数列

  如果数列增长速度明显快于等差、但又没有快到平方立方那种爆发程度，通常可以考虑“前两项按系数组合”：

• A + 2B = C
• 2A + B = C
• A × 2 ± 常数 = B

经典真题

真题3：1，2，5，12，29，( )

A.68B.69C.70D.71

解析

解析： 圈后三项看关系最清楚：

• $1+2\times 2=5$
• $2+5\times 2=12$
• $5+12\times 2=29$

规律是：

$$A+2B=C$$

所以下一项为：

$$12+2\times 29=70$$

正确答案为 C。

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三、递推平方与幂次邻居

  有些题虽然项数不多，但增长突然加快，或者数字总落在平方数、立方数附近，这时要考虑：

• A^2 ± 常数 = B
• A^3 ± 常数 = B
• 各项是“平方数邻居”或“立方数邻居”

经典真题

真题4：2，5，26，( )

A.651B.677C.701D.726

解析

解析： 项数少，而且从 5 到 26 增幅已经明显加快，很适合试平方关系：

• $2^2+1=5$
• $5^2+1=26$

规律成立：前一项平方后加 1 得到后一项。

因此下一项为：

$${26}^2+1=676+1=677$$

正确答案为 B。

真题5：3，2，11，14，27，( )

A.32B.34C.36D.38

解析

解析： 这些数都落在平方数附近：

• $3=1^2+2$
• $2=2^2-2$
• $11=3^2+2$
• $14=4^2-2$
• $27=5^2+2$

规律是：按自然数平方，交替加 2、减 2。

所以下一项应为：

$$6^2-2=34$$

正确答案为 B。

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解题提示

1. 递推题先圈三项，不要上来就机械做差。
2. 如果后项增长较快，优先怀疑“倍数递推”或“平方递推”。
3. 项数很少时，更要重视平方数、立方数及其邻近数。
4. 遇到 0、1、2 这类小数时，不要被迷惑，它们经常只是递推关系中的过渡项。

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补充真题

真题补充1：2，4，7，12，20，( )

A.28B.30C.33D.35

解析

解析：满足 前两项之和 + 1 = 第三项。所以下一项为 12+20+1=33。正确答案为 C。

真题补充2：18，11，7，4，3，( )

A.1B.2C.3D.4

解析

解析：递推差：18-11=7，11-7=4，7-4=3，所以下一项为 4-3=1。正确答案为 A。

真题补充3：1，2，5，12，29，( )

A.68B.69C.70D.71

解析

解析：满足 A+2B=C：1+2×2=5，2+2×5=12，5+2×12=29。所以下一项为 12+2×29=70。正确答案为 C。

真题补充4：2，5，26，( )

A.651B.677C.701D.726

解析

解析：满足 前项平方+1=后项：2^2+1=5，5^2+1=26，所以下一项为 26^2+1=677。正确答案为 B。

真题补充5：4，7，12，20，33，( )

A.52B.53C.54D.55

解析

解析：满足 前两项之和+1=后一项：4+7+1=12，7+12+1=20，12+20+1=33。所以下一项为 20+33+1=54。正确答案为 C。