根式数列

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概述

  根式数列看起来吓人，本质上通常只是普通数列“戴了根号帽子”。遇到这类题，先不要急着算无理数，优先做三件事：

1. 统一形式：把整数、系数根式都改写成 $\sqrt{A}$ 的形式。
2. 脱帽平方：如果整列几乎都带根号，可以直接观察根号内的数字。
3. 拆分乘积：如果根号内数字差异大，尝试分解成连续数乘积。

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一、统一形式法

  只要数列里出现“整数 + 根式 + 系数根式”混搭，第一步一定是统一写法。

经典真题

真题1：√2，2，√6，2√2，( )

A.√10B.3C.√12D.√13

解析

解析： 统一成 $\sqrt{A}$ 形式：

• $\sqrt{2}$
• $2=\sqrt{4}$
• $\sqrt{6}$
• $2\sqrt{2}=\sqrt{8}$

此时只看根号内：

$$2,4,6,8$$

这是公差为 2 的等差数列，因此下一项应为：

$$\sqrt{10}$$

正确答案为 A。

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二、脱帽平方法

  如果题目中大多数项都能写成根式，优先把注意力放在根号内，很多递推关系会直接显现。

经典真题

真题2：2，3，√13，√22，( )

A.√30B.√35C.6D.√42

解析

解析： 前两项先写成根式：

• $2=\sqrt{4}$
• $3=\sqrt{9}$
• $\sqrt{13}$
• $\sqrt{22}$

观察根号内：

$$4,9,13,22$$

发现有明显递推和：

• $4+9=13$
• $9+13=22$

因此下一项根号内为：

$$13+22=35$$

所以答案是：

$$\sqrt{35}$$

正确答案为 B。

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三、拆分乘积法

  当根号内数字看上去没有加减规律时，试着把它们拆成“连续整数乘积”，很多题会瞬间变简单。

经典真题

真题3：√2，√6，√12，√20，( )

A.√24B.√30C.√32D.√36

解析

解析： 只看根号内：

$$2,6,12,20$$

分别拆分：

• $2=1\times 2$
• $6=2\times 3$
• $12=3\times 4$
• $20=4\times 5$

规律很明显：连续两个自然数相乘。

所以下一项根号内应为：

$$5\times 6=30$$

答案为：

$$\sqrt{30}$$

正确答案为 B。

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解题提示

1. 根式题优先“去外衣”，先别被根号本身吓住。
2. 整数要及时改写成根式，带系数的根式也要及时平方塞进去。
3. 根号内常见规律包括等差、递推和、连续数乘积、平方数邻居。

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补充真题

真题补充1：√2，2，√6，2√2，√10，( )

A.√12B.√14C.√16D.√18

解析

解析：统一成根式后为 √2，√4，√6，√8，√10，下一项为 √12。正确答案为 A。

真题补充2：1，√2，√5，√10，( )

A.√17B.√18C.√19D.√20

解析

解析：统一后根号内为 1，2，5，10，做差得 1，3，5，下一差为 7，故下一项根号内为 17。正确答案为 A。

真题补充3：√2，√6，√12，√20，( )

A.√30B.√35C.√40D.√45

解析

解析：根号内为 1×2，2×3，3×4，4×5，下一项为 5×6=30。答案为 √30。正确答案为 A。

真题补充4：2，3，√13，√22，√35，( )

A.√52B.√57C.√62D.√67

解析

解析：统一后根号内为 4，9，13，22，35，满足递推和：4+9=13，9+13=22，13+22=35，所以下一项根号内为 22+35=57，答案为 √57。正确答案为 B。

真题补充5：√3，√12，√27，( )

A.3√3B.4√3C.2√12D.√54

解析

解析：根号内为 3×1^2，3×2^2，3×3^2，下一项为 3×4^2=48，即 √48=4√3。正确答案为 B。