最值问题 (抽屉原理与和定最值)

概述

最值问题的关键词通常很明显：

• 最多
• 最少
• 至少要多少才能保证
• 最高可能是多少
• 最低至少是多少

这类题高频考三条线：

1. 抽屉原理
2. 和定最值
3. 平均分配思想

也就是说，最值题往往不是硬算，而是在找“最不利情况”或“最平均情况”。

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公式速查

模型	公式 / 结论	使用方式	对应真题
抽屉原理	至少有一个不少于 ceil(n/m)	n 个对象放进 m 类，求“至少”	真题1、真题2、真题5
保证同类	最不利分配 + 1	先把“不想重复”拖到极限	真题1
最大值最大	最大值最大 = 总和 - 其余项最小和	想让一个人尽量大，就压低别人	真题3
最大值最小	最大值最小 = ceil(S/n)	想让最大者尽量小，就尽量平均	真题4
平均分配思想	极值往往出现在“尽量平均”附近	能均分看平均，不能均分看上取整	真题2、真题4、真题5

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一、抽屉原理

1. 基本思想

2. 最不利原则

3. 常见模型

二、和定最值

1. 总和固定时，求最大值的最大

2. 总和固定时，求最大值的最小

3. 常见限制条件

三、平均思想

1. 至少有一个不低于平均数

2. 至少有一个不高于平均数

3. 想让最大值最小，就尽量平均分

四、积与和的最值

1. 和固定，积最大

2. 积固定，和最小

五、经典真题

六、考场易错点

七、这一章的复习重点