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最值问题 (抽屉原理与和定最值)
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概述
最值问题的关键词通常很明显：
- 最多
- 最少
- 至少要多少才能保证
- 最高可能是多少
- 最低至少是多少
这类题高频考三条线：
- 抽屉原理
- 和定最值
- 平均分配思想
也就是说，最值题往往不是硬算，而是在找“最不利情况”或“最平均情况”。
公式速查
| 模型 | 公式 / 结论 | 使用方式 | 对应真题 |
|---|---|---|---|
| 抽屉原理 | 至少有一个不少于 ceil(n/m) | n 个对象放进 m 类，求“至少” | 真题1、真题2、真题5 |
| 保证同类 | 最不利分配 + 1 | 先把“不想重复”拖到极限 | 真题1 |
| 最大值最大 | 最大值最大 = 总和 - 其余项最小和 | 想让一个人尽量大，就压低别人 | 真题3 |
| 最大值最小 | 最大值最小 = ceil(S/n) | 想让最大者尽量小，就尽量平均 | 真题4 |
| 平均分配思想 | 极值往往出现在“尽量平均”附近 | 能均分看平均，不能均分看上取整 | 真题2、真题4、真题5 |
一、抽屉原理
1. 基本思想
如果把 n 个对象放进 m 个抽屉，那么至少有一个抽屉里不少于：
个对象。
这里的上取整就是抽屉原理的标准表达。
2. 最不利原则
公考里更常用的是口头版：
要想“保证”某件事发生，就先假设自己最倒霉，把不想发生的情况拖到极限，最后再加 1。
3. 常见模型
- 取球问题
- 生日、季度、星期问题
- 分书、分苹果、分人问题
二、和定最值
1. 总和固定时，求最大值的最大
想让某个人尽量大，就让其他人尽量小。
2. 总和固定时，求最大值的最小
想让“最大者尽量小”，就让大家尽量平均。
3. 常见限制条件
做和定最值题时，一定要审清：
- 是否都是整数
- 是否互不相同
- 是否有及格线、下限、上限
这些限制会直接改变最值结果。
三、平均思想
很多最值题本质上就是平均数思想。
1. 至少有一个不低于平均数
2. 至少有一个不高于平均数
3. 想让最大值最小，就尽量平均分
例如把 100 分给 4 个正整数，若要使其中最大数尽量小，就尽量平均：
所以最大数最小为 25。
四、积与和的最值
这部分在公考里不算主流，但会以简单形式出现。
1. 和固定，积最大
若两个正数和固定，则两数越接近，乘积越大。
例如：
则当 x=y=5 时，xy 最大。
2. 积固定，和最小
若两个正数积固定，则两数越接近，和越小。
这类题一般不会考得很深，但知道结论能帮你快速判断选项。
五、经典真题
真题1：一年中至少有多少人，才能保证其中两人的生日在同一个季度？
解析
真题2：把 13 个苹果放入 4 个盒子，至少有一个盒子里不少于多少个苹果？
解析
真题3：6 名学生参加百分制考试，成绩总和为 400 分。已知 6 人都及格，且分数均为整数，排名无并列。问第一名最多得多少分？
解析
真题4：4 个正整数和为 100。要使其中最大数尽可能小，则这个最大数最小是多少？
解析
真题5：将 31 本书分给 5 名同学，至少有一名同学分到不少于多少本？
解析
六、考场易错点
- 题目问“保证”，却按平均数直接写整数商，不会加 1。
- 和定最值时没有审清“互不相同”“及格”“整数”等限制。
- 求“最大值的最小”时不会想到尽量平均。
- 把抽屉原理和容斥原理混在一起。
- 一看到最值就硬列方程，忘了先想极端分配。
七、这一章的复习重点
最值题最值得练的是两种思维：
- 最不利原则
- 尽量平均原则
只要会在这两者之间切换，最值问题就会规整很多。