公考数学常识（数量关系）

一、公考数学必背“数字属性常识”

在数量关系中，利用数字本身的特性（如奇偶、整除、尾数）可以实现“秒杀”，而不需要一步步死算。以下是历年考试中最常用到的数字属性进阶解析：

1. 奇偶特性（解不定方程神器）

【基础知识点】

加减法规律：同偶、同奇得偶（如 ** $奇 \pm 奇 = 偶$ ），一奇一偶得奇（如 $奇 \pm 偶 = 奇$ ）。
乘法规律：有偶则偶，全奇才奇。即任何数乘以偶数必为偶数。

【考场推论】

两数和与差同奇偶：如果 $x + y$ 是偶数，那么 $x - y$ 也必然是偶数。
解不定方程的切入点：遇到形如 ** $a x + b y = c$ 时，若 $a$ 或 $b$ 为偶数（例如 $4 y$ ），则该项恒为偶数；若此时常数项 $c$ 也是偶数，则推导另一项必定是偶数，从而迅速锁定未知数的奇偶性。

【真题演练】

真题：超市买苹果和梨共花去 104 元。苹果 8 元/斤，梨 5 元/斤，且购买重量均为整数。已知苹果购买量是偶数斤，问苹果买了多少斤？

A.6B.7C.8D.9

解析

解析：设苹果买 $x$ 斤，梨买 $y$ 斤，列不定方程： $8 x + 5 y = 104$ 。

因为 $8 x$ 和 $104$ 都是偶数，所以 $5 y$ 也必须是偶数，从而可知 $y$ 为偶数。
题目已明确 $x$ 是偶数，因此先排除奇数选项 B、D。
代入 A： $x = 6$ ，则 $5 y = 104 - 48 = 56$ ， $y = 11.2$ ，不是整数，排除。
代入 C： $x = 8$ ，则 $5 y = 104 - 64 = 40$ ， $y = 8$ ，满足条件。

因此苹果买了 8 斤，正确答案为 C。

2. 常见整除判定法则（快速排除法）

【基础知识点】

看尾数：被 2 或 5 整除看末1位；被 4 或 25 整除看末2位；被 8 或 125 整除看末3位。
看加和：被 3 或 9 整除看各位数字之和。

【考场推论】

平均分/按比例分配倒推：如果题干说“把总数平均分成 9 份”，那么选项里的总数加起来必定能被 9 整除（各位数字和是9的倍数）。
余数推断：如果说某数“除以 4 余 1”，那么该数末两位组成的数字除以 4 必定余 1。

【真题演练】

真题：某班级学生要去春游，若按每组 4 人分，正好分完；若按每组 9 人分，也正好分完。已知该年级总人数在 140 到 150 之间，该年级共有多少人？

A.143B.144C.145D.146

解析

解析：

推论应用：总人数能被 4 整除，也能被 9 整除。
能被 4 整除 $\Rightarrow$ 看末两位。143（奇数错），145（奇数错），146（46不能被4整除），144（44能被4整除 $\Rightarrow$ 对）。
验证能否被 9 整除 $\Rightarrow$ 看各位数字之和。 $1 + 4 + 4 = 9$ ，能被 9 整除。
仅用整除法则，不动笔即可秒杀选出答案。 答案：B

3. 乘方尾数规律（解决超大幂次计算）

【基础知识点】 数字的次方尾数呈现 4 次一循环的固定规律：

$2^{n}$ 的尾数：2, 4, 8, 6
$3^{n}$ 的尾数：3, 9, 7, 1
$4^{n}$ 的尾数：4, 6, 4, 6

【考场推论】 面对 $A^{n}$ 求尾数，拿指数 $n$ 除以 4，看余数。余数是 1，对应第 1 个尾数；余数是 2，对应第 2 个尾数；余数是 3，对应第 3 个；整除（余数为 0），对应第 4 个尾数。

【真题演练】

真题：请问 $3^{2023}$ 的个位数（尾数）是多少？

A.1B.3C.7D.9

解析

解析：

指数是 2023，将 2023 除以 4 找余数。
判断 2023 能否被 4 整除，只需看末两位 23。 $23 \div 4 = 5 \dots \dots$ 余 3。
指数除以 4 余 3，说明落在循环的第 3 个位置。
$3^{n}$ 的尾数循环是：3, 9, 7, 1。
第 3 个位置是 7。 答案：C

4. 勾股数常识（几何速算）

【基础知识点】 满足直角三角形 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 的常见正整数边长（勾股数）：

(3, 4, 5) 及其倍数 (6, 8, 10)、(9, 12, 15)、(30, 40, 50)
(5, 12, 13) 及其倍数 (10, 24, 26)
(8, 15, 17)、(7, 24, 25)

【考场推论】 在行程问题（如甲往东走，乙往北走求直线距离）或几何问题中，一旦算出两条直角边是 3 和 4 的倍数，直接套用“斜边是 5 的倍数”，彻底跳过繁琐的平方和开根号运算。

【真题演练】

真题：张三从起点向正东走了 25 米，然后向正北走了 60 米，此时他距离起点多少米？

A.65B.60C.55D.50

解析

解析：

张三走过的路线构成一个直角三角形，要求的是斜边。直角边分别是 25 和 60。
提取公因数： $25 = 5 \times 5$ ， $60 = 5 \times 12$ 。
这正是基础勾股数 (5, 12, 13) 的 5 倍放大版。
因此斜边一定是 $5 \times 13 = 65$ 。
无须计算 $25^{2} + 60^{2}$ 然后开根号！ 答案：A

5. 约数、余数与同余常识（数论入门）

【基础知识点】

约数：能整除某个整数的数，叫这个整数的约数。
倍数：若 ** $a = b \times k$ ，则 $a$ 是 $b$ 的倍数。
余数： $a \div b = q \dots r$ ，其中 $0 \leq r < b$ 。
同余：如果两个数除以同一个除数得到的余数相同，就可以记成 $a \equiv b (\mod m)$ 。

【考场推论】

只要题目出现“每隔若干、每组若干、除以若干还剩”，就要立刻想到余数关系。
余数问题本质是在找满足若干个条件的同一个整数，因此经常要和最小公倍数、逐步试探法联动。
数量关系里的余数题，不要求掌握抽象数论证明，重点是会把中文条件翻译成“除以几余几”。

【速记结论】

若 $a \equiv b (\mod m)$ ，则 $a - b$ 一定能被 $m$ 整除。
若若干数除以 $m$ 余数相同，则它们两两之差都能被 $m$ 整除。
“余同加余、差同减差、和同加和”本质上都是同余关系的快捷判断。

6. 质数、合数与因式分解（数字性质高频点）

【基础知识点】

质数：大于 1 且只有 1 和它本身两个正约数的数，如 2、3、5、7、11。
合数：大于 1 且除 1 和本身外还有别的约数的数，如 4、6、8、9、10。
1 既不是质数也不是合数。
2 是唯一的偶质数。

【考场推论】

遇到“质数之和”“质数之积”“两个互质整数”的题，第一反应要先看奇偶。
除了 2 以外，所有质数都是奇数，所以两个奇质数之和一定是偶数。
因式分解不是为了炫技巧，而是为了更快判断整除、约数个数、最大公约数和最小公倍数。

【常用分解】

$12 = 2^{2} \times 3$
$18 = 2 \times 3^{2}$
$30 = 2 \times 3 \times 5$
$72 = 2^{3} \times 3^{2}$

7. 最大公约数与最小公倍数（分组、周期、整除共用）

【基础知识点】

最大公约数：几个整数公有约数中最大的一个。
最小公倍数：几个整数公有倍数中最小的一个。
互质：最大公约数是 1。

【考场推论】

遇到“同时满足多个周期”“每隔几分钟同时出现一次”“分成若干组都正好分完”，优先想最小公倍数。
遇到“若干物品尽量多地平均分组而不剩”“把大尺寸切成同样小段”，优先想最大公约数。
余数问题中的“逐步满足法”本质上也在不断往某个最小公倍数的方向靠。

【核心结论】

两个数的积 = 最大公约数 $\times$ 最小公倍数
若 $a, b$ 互质，则 $lcm (a, b) = a b$
周期题的“第一次再次同时出现”本质上就是在求最小公倍数

二、实用生活类数学公式速查

很多公考题披着生活的外衣，实则考查固定的数学公式。

1. 植树及分段问题

【基础知识点】

直线两端植树：树被栽在一段直线的两个端点以及中间。
环形封闭植树：在圆环、操场周围一圈植树。
两端不植树（锯木头/爬楼梯）：只在中间切分，两头已经是边界不需要操作。

【考场推论】 千万不能死背繁杂的公式，核心精髓是找出**“棵数（实体操作数）”与“间隔数”**的差值关系：

两头都被占上（两端植树）：棵数比间隔多 1。 $\Rightarrow$ 棵数 = 间隔数 + 1
首尾相连（环形封闭）：没有头也没有尾。 $\Rightarrow$ 棵数 = 间隔数
两头都不占（锯木头）：棵数比间隔少 1。 $\Rightarrow$ 棵数 = 间隔数 - 1

【视觉记忆】

(1) 直线两端植树（间隔4，棵数5）

(2) 环节植树（间隔4，棵数4）

【真题演练】

真题：一条公路长 100 米，现在要在公路的一侧从头到尾每隔 5 米栽一棵杨树，请问一共需要栽多少棵树？

A.19棵B.20棵C.21棵D.22棵

解析

解析：

题眼在于“公路的一侧从头到尾”，也就是两端都要种。
求间隔数： $100 \div 5 = 20$ 个间隔。
套用推论（两端植树）：棵数 = 间隔数 + 1 = $20 + 1 = 21$ 。 答案：C

2. 比赛场次分配公式

【基础知识点】

淘汰赛：两人/两队对决，必败一人出局，直到最后剩一名总冠军。
单循环赛：每个队伍都必须与其他所有队伍进行恰好一次交手（如世界杯小组赛）。
双循环赛：每个队伍都必须与其他所有队伍进行**主客场各一次（共两次）**交手（如英超联赛积分赛）。

【考场推论】 遇到比赛场次题，切忌自己在草稿纸上连线数场次，直接套用以下秒杀公式：

淘汰赛决出冠军：总比赛场数 = 参赛队伍数 - 1（因为每场淘汰1队，要淘汰 N-1 队才能剩冠军）。
单循环赛公式：总场数 = N × (N - 1) ÷ 2（原理是从 $N$ 队中抽 2 队进行组合 $C_{n}^{2}$ ）。
双循环赛公式：总场数 = N × (N - 1)（单循环的两倍）。

【真题演练】

真题：某单位举办乒乓球单打锦标赛，共有 64 名职工报名参加。比赛采用单一场次的淘汰赛制（即输一场就被淘汰），请问决出最终的男单冠军一共需要安排多少场比赛？

A.63B.64C.127D.128

解析

解析：

第一直觉可能会想去算：第一轮 32 场，第二轮 16 场，第三轮 8 场，第四轮 4 场，第五轮 2 场，决出冠军 1 场。然后把它们相加 $32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63$ 。
推论秒杀：既然是淘汰赛，要求决出 1 名冠军，那就意味着要淘汰掉 63 个人。
因为每一场淘汰赛必然淘汰且仅淘汰 1 个人。
所以可以直接得出：比赛场数 = N - 1 = 64 - 1 = 63 场。 答案：A

3. 数量关系核心公式速查

这部分对应的是做题时最常回头翻的“工具箱”，不按题目外形记，而按核心数量关系记：

和差倍比：
- 和倍：小量 = 和 $\div (倍数 + 1)$
- 差倍：小量 = 差 $\div (倍数 - 1)$
工程问题：
- 工作总量 = 效率 $\times$ 时间
- 合作效率 = 各自效率之和
行程问题：
- 路程 = 速度 $\times$ 时间
- 相遇：总路程 = 速度和 $\times$ 时间
- 追及：路程差 = 速度差 $\times$ 时间
利润问题：
- 售价 = 成本 $\times (1 + 利润率)$
- 利润 = 售价 - 成本
- 折后售价 = 标价 $\times$ 折扣
浓度问题：
- 溶质 = 溶液 $\times$ 浓度
- 蒸发加水题盯住溶质不变
容斥问题：
- 两集合：总数 = A + B - 都满足 + 都不满足
- 三集合标准式： $A + B + C - A \cap B - A \cap C - B \cap C + A \cap B \cap C$
排列组合：
- 排列： $A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n - m)!}$
- 组合： $C_{n}^{m} = \frac{n!}{m! (n - m)!}$
概率问题：
- 概率 = 满足条件情况数 $\div$ 总情况数
- 对立事件： $P (至少一个) = 1 - P (一个都没有)$

这些公式本身不难，难的是识别什么时候该用哪一条，所以背公式必须和题型识别一起练。