公考数学常识（数量关系）

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一、公考数学必背“数字属性常识”

在数量关系中，利用数字本身的特性（如奇偶、整除、尾数）可以实现“秒杀”，而不需要一步步死算。以下是历年考试中最常用到的数字属性进阶解析：

1. 奇偶特性（解不定方程神器）

【基础知识点】

• 加减法规律：同偶、同奇得偶（如 $\mathrm{奇}\pm \mathrm{奇}=\mathrm{偶}$），一奇一偶得奇（如 $\mathrm{奇}\pm \mathrm{偶}=\mathrm{奇}$）。
• 乘法规律：有偶则偶，全奇才奇。即任何数乘以偶数必为偶数。

【考场推论】

1. 两数和与差同奇偶：如果 $x+y$ 是偶数，那么 $x-y$ 也必然是偶数。
2. 解不定方程的切入点：遇到形如 $ax+by=c$ 时，若 $a$ 或 $b$ 为偶数（例如 $4y$），则该项恒为偶数；若此时常数项 $c$ 也是偶数，则推导另一项必定是偶数，从而迅速锁定未知数的奇偶性。

【真题演练】

真题：超市买苹果和梨共花去 104 元。苹果 8 元/斤，梨 5 元/斤，且购买重量均为整数。已知苹果购买量是偶数斤，问苹果买了多少斤？

A.6B.7C.8D.9

解析

解析： 设苹果买 $x$ 斤，梨买 $y$ 斤，列不定方程：$8x+5y=104$。

• 因为 $8x$ 和 $104$ 都是偶数，所以 $5y$ 也必须是偶数，从而可知 $y$ 为偶数。
• 题目已明确 $x$ 是偶数，因此先排除奇数选项 B、D。
• 代入 A：$x=6$，则 $5y=104-48=56$，$y=11.2$，不是整数，排除。
• 代入 C：$x=8$，则 $5y=104-64=40$，$y=8$，满足条件。

因此苹果买了 8 斤，正确答案为 C。

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2. 常见整除判定法则（快速排除法）

【基础知识点】

• 看尾数：被 2 或 5 整除看末1位；被 4 或 25 整除看末2位；被 8 或 125 整除看末3位。
• 看加和：被 3 或 9 整除看各位数字之和。

【考场推论】

1. 平均分/按比例分配倒推：如果题干说“把总数平均分成 9 份”，那么选项里的总数加起来必定能被 9 整除（各位数字和是9的倍数）。
2. 余数推断：如果说某数“除以 4 余 1”，那么该数末两位组成的数字除以 4 必定余 1。

【真题演练】

真题：某班级学生要去春游，若按每组 4 人分，正好分完；若按每组 9 人分，也正好分完。已知该年级总人数在 140 到 150 之间，该年级共有多少人？

A.143B.144C.145D.146

解析

解析：

• 推论应用：总人数能被 4 整除，也能被 9 整除。
• 能被 4 整除 $\Rightarrow$ 看末两位。143（奇数错），145（奇数错），146（46不能被4整除），144（44能被4整除 $\Rightarrow$ 对）。
• 验证能否被 9 整除 $\Rightarrow$ 看各位数字之和。$1+4+4=9$，能被 9 整除。
• 仅用整除法则，不动笔即可秒杀选出答案。 答案：B

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3. 乘方尾数规律（解决超大幂次计算）

【基础知识点】 数字的次方尾数呈现 4 次一循环的固定规律：

• $2^n$ 的尾数：2, 4, 8, 6
• $3^n$ 的尾数：3, 9, 7, 1
• $4^n$ 的尾数：4, 6, 4, 6

【考场推论】 面对 $A^n$ 求尾数，拿指数 $n$ 除以 4，看余数。 余数是 1，对应第 1 个尾数；余数是 2，对应第 2 个尾数；余数是 3，对应第 3 个；整除（余数为 0），对应第 4 个尾数。

【真题演练】

真题：请问 $3^{2023}$ 的个位数（尾数）是多少？

A.1B.3C.7D.9

解析

解析：

• 指数是 2023，将 2023 除以 4 找余数。
• 判断 2023 能否被 4 整除，只需看末两位 23。$23÷4=5\cdots \cdots$ 余 3。
• 指数除以 4 余 3，说明落在循环的第 3 个位置。
• $3^n$ 的尾数循环是：3, 9, 7, 1。
• 第 3 个位置是 7。 答案：C

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4. 勾股数常识（几何速算）

【基础知识点】 满足直角三角形 $a^2+b^2=c^2$ 的常见正整数边长（勾股数）：

• (3, 4, 5) 及其倍数 (6, 8, 10)、(9, 12, 15)、(30, 40, 50)
• (5, 12, 13) 及其倍数 (10, 24, 26)
• (8, 15, 17)、(7, 24, 25)

【考场推论】 在行程问题（如甲往东走，乙往北走求直线距离）或几何问题中，一旦算出两条直角边是 3 和 4 的倍数，直接套用“斜边是 5 的倍数”，彻底跳过繁琐的平方和开根号运算。

【真题演练】

真题：张三从起点向正东走了 25 米，然后向正北走了 60 米，此时他距离起点多少米？

A.65B.60C.55D.50

解析

解析：

• 张三走过的路线构成一个直角三角形，要求的是斜边。直角边分别是 25 和 60。
• 提取公因数：$25=5\times 5$，$60=5\times 12$。
• 这正是基础勾股数 (5, 12, 13) 的 5 倍放大版。
• 因此斜边一定是 $5\times 13=65$。
• 无须计算 ${25}^2+{60}^2$ 然后开根号！ 答案：A

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5. 约数、余数与同余常识（数论入门）

【基础知识点】

• 约数：能整除某个整数的数，叫这个整数的约数。
• 倍数：若 $a=b\times k$，则 $a$ 是 $b$ 的倍数。
• 余数：$a÷b=q\cdots r$，其中 $0\le r<b$。
• 同余：如果两个数除以同一个除数得到的余数相同，就可以记成 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$。

【考场推论】

1. 只要题目出现“每隔若干、每组若干、除以若干还剩”，就要立刻想到余数关系。
2. 余数问题本质是在找满足若干个条件的同一个整数，因此经常要和最小公倍数、逐步试探法联动。
3. 数量关系里的余数题，不要求掌握抽象数论证明，重点是会把中文条件翻译成“除以几余几”。

【速记结论】

• 若 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$，则 $a-b$ 一定能被 $m$ 整除。
• 若若干数除以 $m$ 余数相同，则它们两两之差都能被 $m$ 整除。
• “余同加余、差同减差、和同加和”本质上都是同余关系的快捷判断。

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6. 质数、合数与因式分解（数字性质高频点）

【基础知识点】

• 质数：大于 1 且只有 1 和它本身两个正约数的数，如 2、3、5、7、11。
• 合数：大于 1 且除 1 和本身外还有别的约数的数，如 4、6、8、9、10。
• 1 既不是质数也不是合数。
• 2 是唯一的偶质数。

【考场推论】

1. 遇到“质数之和”“质数之积”“两个互质整数”的题，第一反应要先看奇偶。
2. 除了 2 以外，所有质数都是奇数，所以两个奇质数之和一定是偶数。
3. 因式分解不是为了炫技巧，而是为了更快判断整除、约数个数、最大公约数和最小公倍数。

【常用分解】

• $12=2^2\times 3$
• $18=2\times 3^2$
• $30=2\times 3\times 5$
• $72=2^3\times 3^2$

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7. 最大公约数与最小公倍数（分组、周期、整除共用）

【基础知识点】

• 最大公约数：几个整数公有约数中最大的一个。
• 最小公倍数：几个整数公有倍数中最小的一个。
• 互质：最大公约数是 1。

【考场推论】

1. 遇到“同时满足多个周期”“每隔几分钟同时出现一次”“分成若干组都正好分完”，优先想最小公倍数。
2. 遇到“若干物品尽量多地平均分组而不剩”“把大尺寸切成同样小段”，优先想最大公约数。
3. 余数问题中的“逐步满足法”本质上也在不断往某个最小公倍数的方向靠。

【核心结论】

• 两个数的积 = 最大公约数 $\times$ 最小公倍数
• 若 $a,b$ 互质，则 $\text{lcm}(a,b)=ab$
• 周期题的“第一次再次同时出现”本质上就是在求最小公倍数

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二、实用生活类数学公式速查

很多公考题披着生活的外衣，实则考查固定的数学公式。

1. 植树及分段问题

【基础知识点】

• 直线两端植树：树被栽在一段直线的两个端点以及中间。
• 环形封闭植树：在圆环、操场周围一圈植树。
• 两端不植树（锯木头/爬楼梯）：只在中间切分，两头已经是边界不需要操作。

【考场推论】 千万不能死背繁杂的公式，核心精髓是找出**“棵数（实体操作数）”与“间隔数”**的差值关系：

1. 两头都被占上（两端植树）：棵数比间隔多 1。$\Rightarrow$ 棵数 = 间隔数 + 1
2. 首尾相连（环形封闭）：没有头也没有尾。$\Rightarrow$ 棵数 = 间隔数
3. 两头都不占（锯木头）：棵数比间隔少 1。$\Rightarrow$ 棵数 = 间隔数 - 1

【视觉记忆】

(1) 直线两端植树（间隔4，棵数5）

(2) 环节植树（间隔4，棵数4）

【真题演练】

真题：一条公路长 100 米，现在要在公路的一侧从头到尾每隔 5 米栽一棵杨树，请问一共需要栽多少棵树？

A.19棵B.20棵C.21棵D.22棵

解析

解析：

• 题眼在于“公路的一侧从头到尾”，也就是两端都要种。
• 求间隔数：$100÷5=20$ 个间隔。
• 套用推论（两端植树）：棵数 = 间隔数 + 1 = $20+1=21$。 答案：C

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2. 比赛场次分配公式

【基础知识点】

• 淘汰赛：两人/两队对决，必败一人出局，直到最后剩一名总冠军。
• 单循环赛：每个队伍都必须与其他所有队伍进行恰好一次交手（如世界杯小组赛）。
• 双循环赛：每个队伍都必须与其他所有队伍进行**主客场各一次（共两次）**交手（如英超联赛积分赛）。

【考场推论】 遇到比赛场次题，切忌自己在草稿纸上连线数场次，直接套用以下秒杀公式：

1. 淘汰赛决出冠军：总比赛场数 = 参赛队伍数 - 1（因为每场淘汰1队，要淘汰 N-1 队才能剩冠军）。
2. 单循环赛公式：总场数 = N × (N - 1) ÷ 2（原理是从 $N$ 队中抽 2 队进行组合 $C_n^2$）。
3. 双循环赛公式：总场数 = N × (N - 1)（单循环的两倍）。

【真题演练】

真题：某单位举办乒乓球单打锦标赛，共有 64 名职工报名参加。比赛采用单一场次的淘汰赛制（即输一场就被淘汰），请问决出最终的男单冠军一共需要安排多少场比赛？

A.63B.64C.127D.128

解析

解析：

• 第一直觉可能会想去算：第一轮 32 场，第二轮 16 场，第三轮 8 场，第四轮 4 场，第五轮 2 场，决出冠军 1 场。然后把它们相加 $32+16+8+4+2+1=63$。
• 推论秒杀：既然是淘汰赛，要求决出 1 名冠军，那就意味着要淘汰掉 63 个人。
• 因为每一场淘汰赛必然淘汰且仅淘汰 1 个人。
• 所以可以直接得出：比赛场数 = N - 1 = 64 - 1 = 63 场。 答案：A

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3. 数量关系核心公式速查

这部分对应的是做题时最常回头翻的“工具箱”，不按题目外形记，而按核心数量关系记：

• 和差倍比：
  • 和倍：小量 = 和 $÷(\mathrm{倍}\mathrm{数}+1)$
  • 差倍：小量 = 差 $÷(\mathrm{倍}\mathrm{数}-1)$
• 工程问题：
  • 工作总量 = 效率 $\times$ 时间
  • 合作效率 = 各自效率之和
• 行程问题：
  • 路程 = 速度 $\times$ 时间
  • 相遇：总路程 = 速度和 $\times$ 时间
  • 追及：路程差 = 速度差 $\times$ 时间
• 利润问题：
  • 售价 = 成本 $\times (1+\mathrm{利}\mathrm{润}\mathrm{率})$
  • 利润 = 售价 - 成本
  • 折后售价 = 标价 $\times$ 折扣
• 浓度问题：
  • 溶质 = 溶液 $\times$ 浓度
  • 蒸发加水题盯住溶质不变
• 容斥问题：
  • 两集合：总数 = A + B - 都满足 + 都不满足
  • 三集合标准式：$A+B+C-A\cap B-A\cap C-B\cap C+A\cap B\cap C$
• 排列组合：
  • 排列：$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$
  • 组合：$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$
• 概率问题：
  • 概率 = 满足条件情况数 $÷$ 总情况数
  • 对立事件：$P(\text{至少一个})=1-P(\text{一个都没有})$

这些公式本身不难，难的是识别什么时候该用哪一条，所以背公式必须和题型识别一起练。

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三、参考高频补充模型

1. 周期问题

【题型本质】 周期问题考的不是复杂计算，而是“重复出现的规律”。一旦某个过程会按固定长度重复，就先找一个完整周期，再用总量去除周期长度看余数。

【常见考法】

• 星期循环：每过 7 天星期重复一次。
• 灯泡闪烁、值班排班、颜色轮换：每过若干步重新回到起点。
• 数列类周期：数值本身不单调，但按固定几项循环出现。

【解题步骤】

1. 先找周期长度。
2. 再算目标位置是“整周期”后的第几项。
3. 余数为 0 时，落在本周期最后一项。

【快记】 若周期长度为 $T$，要求第 $n$ 个位置，则看：

$$n÷T$$

的余数。

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2. 鸡兔同笼

【题型本质】 鸡兔同笼本质上是“总量 + 差异量”的模型。已知总头数、总脚数，要求各有多少，只要抓住每类对象“单个贡献不同”即可。

【核心思路】

• 假设法：先假设全是鸡或全是兔，再看多出来或少掉的脚数。
• 方程法：设鸡 $x$ 只，兔 $y$ 只，列

$$\{\begin{array}{l}x+y=\text{总头数}\\ 2x+4y=\text{总脚数}\end{array}$$

【快记】 如果先假设全是鸡，则：

$$\text{兔数}=\frac{\text{总脚数}-2\times \text{总头数}}{2}$$

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3. 空瓶换酒

【题型本质】 空瓶换酒题本质是“消耗一个资源，生成另一个资源，再继续循环兑换”。难点不在算术，而在于分清：

• 喝完一瓶会产生 1 个空瓶；
• 多少个空瓶才能换 1 瓶新酒；
• 换来的新酒喝完后，空瓶还会继续回流。

【常见结论】 如果 $k$ 个空瓶换 1 瓶酒，而且允许一直换到不能换为止，那么总瓶数常常要按“喝完就回收空瓶”的循环去推，不能只做一次除法。

【稳妥做法】

1. 先算手上初始能喝多少瓶。
2. 再把喝完产生的空瓶数作为下一轮资源。
3. 一轮轮往下推，直到空瓶数小于兑换门槛。

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4. 天平问题

【题型本质】 天平问题通常是“若干个外观相同的球中有一个异常球，且不知道它偏重还是偏轻，最少称几次能找出来”。这类题核心不是列方程，而是分类能力。

【核心思维】 每称一次，最多只有三种结果：

• 左边重
• 右边重
• 平衡

所以称重问题的上限本质上和“每次最多分成 3 类”有关。判断最少次数时，要看：

$$3^n$$

能够覆盖多少种可能状态。

【快记】

• 已知异常球一定偏重，信息量较少，题目更简单。
• 不知偏重还是偏轻，状态数翻倍，难度明显上升。

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5. 剪绳与切割问题

【题型本质】 剪绳问题最常见的考法有两类：

• 问切成若干段需要剪几刀；
• 问若干人轮流操作，最后能得到多少段。

【基本结论】

• 一根绳子切成 $n$ 段，需要 $n-1$ 刀。
• 若若干刀可以同时进行，要区分“串行切割”还是“并行切割”。

【延伸】 和锯木头、分木板、切蛋糕属于同一类思维，关键都在“段数”和“刀数”的关系。

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6. 过河问题

【题型本质】 过河题表面像故事题，本质是统筹调度。题干往往会限制：

• 船一次最多坐几人；
• 哪些人不能单独在一起；
• 谁划船快、谁划船慢；
• 来回需要有人摆渡。

【核心思路】

1. 先确定“谁负责来回送船”。
2. 再比较两种常见方案谁更省时间。
3. 每运走一批人，就把题目缩成更小的同类问题。

这类题很多时候不用暴力枚举，关键是识别“最慢者决定成本”“摆渡者决定往返损耗”。

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7. 博弈问题

【题型本质】 博弈题常见于“轮流取石子、轮流报数、最后谁赢”。它的本质不是计算大数，而是找“必胜态”和“必败态”。

【常见规律】

• 如果每次最多取 $k$ 个，那么经常围绕 $k+1$ 做周期。
• 谁能把局面留给对手一个“必败态”，谁就占优。

【快记】 例如每次可取 1 到 3 个石子，那么关键数通常围绕 4：

• 留给对手 4、8、12 这类局面，自己通常占优。

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8. 统筹规划与递推/动态规划意识

【题型本质】 公考数量里这类题不一定直接叫动态规划，但经常表现为：

• 最少需要几步；
• 每一步状态都会变化；
• 当前最优依赖前一步或前几步结果。

【什么时候用】

• 走台阶、拆分任务、最少操作次数；
• 某个状态由前一个状态递推出来；
• 直接算总结果很难，但一步步往前推很容易。

【核心意识】 不要一上来就想终点，先问自己： “如果我已经知道前一步的最优解，下一步能不能顺着推出？”

这就是动态规划在行测里最实用的一层，不要求会写程序，但要会抓“状态递推”。

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9. 计数杂题

【题型本质】 计数杂题其实不是“杂”，而是很多题都在考最基础的两个原则：

• 分类用加法
• 分步用乘法

【常见外形】

• 从若干人中选几人排班；
• 走不同路线到终点；
• 不同条件下有多少种安排方法；
• 某些情况要分开讨论再相加。

【解题步骤】

1. 先判断是“几类不同办法”，还是“完成一件事要分几步”。
2. 再决定加法原理还是乘法原理。
3. 若有限制条件（不能相邻、至少一个、至多一个），再叠加插空、捆绑、对立事件等工具。

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四、联网汇总后的数量关系全景分类

公考数学（数量关系）的题型庞杂，一般可归纳成 6 个大块，作为日常刷题分类的框架指引：

1. 比例与百分数：和差倍比、增长率/下降率、比重、连比、抽样推算。
2. 应用代数：利润折扣、分段计费、不定方程、年龄差恒定、牛吃草问题。
3. 工程与行程：工程总量法、相遇追及、环形跑道追及、流水行船速度叠加。
4. 几何度量：周长面积转化、多面体切拼法则、浸水体积守恒定理。
5. 数列与规律：等差求和、等比、二级差分常数、交替递推、分组规律找茬。
6. 计数与逻辑：多类别排列组合、概率求解法则、三集合容斥原理。

在此基础上，参考高频题型还能继续往下细分几类“容易漏学，但真题经常混进来”的模型：

• 周期问题：本质是“重复出现”，核心是先找一个完整周期，再用总量除以周期长度看余数。
• 鸡兔同笼：本质是和差问题或不定方程问题，常用“假设全同类，再补差值”。
• 空瓶换酒：本质是分段循环兑换题，要分清“喝完产生空瓶”和“兑换门槛”。
• 天平问题：本质是比较与分类，关键在于用最少次数把对象分成尽量多类。
• 过河问题：本质是统筹安排，先确定“谁负责来回摆渡”，再算往返成本。
• 统筹规划：本质是安排顺序、减少等待，总原则是让可并行的环节尽量并行。
• 计数杂题：本质是分类还是分步，先判断“做这件事有几类办法”，再决定加法还是乘法。

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五、几何公式图表速查（图形 + 图例 + 公式）

1. 平面图形（周长、面积）

图形	图例（图中标注与公式一致）	周长	面积
长方形		C = 2(a + b)	S = ab
正方形		C = 4a	S = a^2
三角形		C = a + b + c	S = (1/2)ah
梯形		C = a + b + c + d	S = (a + b)h / 2
圆		C = 2πr	S = πr^2
扇形		弧长 l = (n/360)·2πr	S = (n/360)πr^2

2. 立体图形（表面积、体积）

图形	图例（图中标注与公式一致）	表面积	体积
正方体		S = 6a^2	V = a^3
长方体		S = 2(ab + bc + ac)	V = abc
圆柱		S = 2πrh + 2πr^2	V = πr^2h
圆锥		S = πrl + πr^2	V = (1/3)πr^2h

图例统一说明：a,b,c 为边长，h 为高，r 为半径，n 为圆心角（度数），l 为圆锥母线长。

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六、高频知识点 + MCQ 真题

1) 和差倍比：和差关系

核心讲解
已知“总和”和“差”，就用拆分公式：

$$\mathrm{较}\mathrm{大}\mathrm{数}=\frac{\mathrm{和}+\mathrm{差}}{2},\mathrm{较}\mathrm{小}\mathrm{数}=\frac{\mathrm{和}-\mathrm{差}}{2}$$

真题（2010 黑龙江 042）：三个单位共有 180 人，甲、乙两个单位人数之和比丙单位多 20 人，甲单位比乙单位少 2 人。求甲单位人数。

A.48人B.49人C.50人D.51人

解析

分步解析

1. 先把“甲乙”和“丙”做和差：

$$(\mathrm{甲}+\mathrm{乙})+\mathrm{丙}=180,(\mathrm{甲}+\mathrm{乙})-\mathrm{丙}=20$$

相加得：

$$2(\mathrm{甲}+\mathrm{乙})=200\Rightarrow \mathrm{甲}+\mathrm{乙}=100$$

2. 再用“甲比乙少 2”：

$$\mathrm{甲}=\frac{100-2}{2}=49$$

答案：B（49）

易错点：很多人会把“甲比乙少 2”写成“甲=乙+2”。

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2) 比例与增长率

核心讲解

• 减少 $6\mathrm{\%}$：乘 $0.94$
• 增加 $5\mathrm{\%}$：乘 $1.05$

真题（2011 国家）：某公司去年有员工 830 人，今年男员工人数比去年减少 6%，女员工人数比去年增加 5%，员工总数比去年增加 3 人。问今年男员工有多少人？

A.329B.350C.371D.504

解析

分步解析

1. 设去年男、女员工分别为 $x,y$：

$$x+y=830$$

2. 今年总人数是 $833$，列式：

$$0.94x+1.05y=833$$

3. 代入 $y=830-x$：

$$0.94x+1.05(830-x)=833$$$$-0.11x=-38.5\Rightarrow x=350$$

4. 今年男员工：

$$350\times 0.94=329$$

答案：A（329）

易错点：$350$ 是“去年男员工”，不是今年。

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3) 比例抽样（标记回捕）

核心讲解
标记回捕模型：

$$\frac{\text{标记总数}}{\text{总体总数}}\approx \frac{\text{二次样本标记数}}{\text{二次样本总数}}$$

真题（2004 年中央 B 类）：养鱼塘第一次捕上来 200 尾并标记后放回，数日后再捕上来 100 尾，其中有标记的 5 尾。问鱼塘约有多少尾鱼？

A.200B.4000C.5000D.6000

解析

分步解析

1. 设鱼塘总量为 $N$。
2. 按比例：

$$\frac{200}{N}=\frac{5}{100}$$

3. 解得：

$$N=4000$$

答案：B（4000）

易错点：比例式写反会得到错误结果。

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4) 利润与分段提成

核心讲解
利润分段题要“分段累加”，不能直接拿总利润乘一个比例。

真题（2003 年中央 A 类）：某企业发奖金按利润提成。利润不超过 10 万部分按 10%，10~20 万部分按 7.5%，超过 20 万部分按 5%。当利润为 40 万时，应发放奖金多少万元？

A.2B.2.75C.3D.4.5

解析

分步解析

分段计算：

$$\mathrm{奖}\mathrm{金}=10\times 10\mathrm{\%}+(20-10)\times 7.5\mathrm{\%}+(40-20)\times 5\mathrm{\%}$$$$=1+0.75+1=2.75$$

答案：B（2.75）

易错点：把 40 万全部按 5% 或 7.5% 计算。

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5) 折扣与逆推

核心讲解
连续打折是“连乘”，不是“连减”。

真题（2000 年中央）：某人用 4410 元买了一台电脑，其价格是原价连续两次打折后的价格，折扣依次为 10% 和 2%。求原价。

A.4950元B.4990元C.5000元D.5010元

解析

分步解析

设原价为 $x$：

$$x\times (1-10\mathrm{\%})\times (1-2\mathrm{\%})=4410$$$$x\times 0.9\times 0.98=4410$$$$x=5000$$

答案：C（5000）

易错点：错误写成 $x\times (1-12\mathrm{\%})$。

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6) 浓度混合

核心讲解
混合题核心是“溶质量守恒”：

$$\text{浓度}\times \text{溶液质量}=\text{溶质量}$$

真题演练（公考高频浓度模型）：甲容器有浓度 3% 的盐水 190 克，乙容器有浓度 9% 的盐水，从乙中取 210 克倒入甲。问甲容器最终浓度是多少？

A.5.45%B.6.15%C.7.35%D.5.95%

解析

分步解析

设最终浓度为 $C$：

$$3\mathrm{\%}\times 190+9\mathrm{\%}\times 210=(190+210)\times C$$$$5.7+18.9=400C$$$$C=0.0615=6.15\mathrm{\%}$$

答案：B（6.15%）

易错点：把“浓度直接相加后再除 2”。

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7) 工程问题（总量法）

核心讲解
工程题公式：

$$\mathrm{工}\mathrm{作}\mathrm{总}\mathrm{量}=\mathrm{效}\mathrm{率}\times \mathrm{时}\mathrm{间}$$

通常把总量设为完工天数的最小公倍数。

真题演练（工程基础模型）：一批零件若由赵师傅单独加工需 10 天，孙师傅单独加工需 15 天，两人合作需多少天？

A.5B.6C.7D.8

解析

分步解析

1. 设总量为 $30$（10 和 15 的最小公倍数）。
2. 赵效率：$30÷10=3$；孙效率：$30÷15=2$。
3. 合作效率：$3+2=5$。
4. 所需时间：

$$30÷5=6$$

答案：B（6 天）

易错点：直接把时间相加后取平均。

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8) 行程问题（环形追及）

核心讲解
同向环形再次相遇：快者比慢者多跑 1 圈。

$$t=\frac{\text{周长}}{\text{速度差}}$$

示意图

真题（2008 云南 017）：环形跑道周长 400 米，甲乙同时同地出发，甲每分钟 375 米，乙每分钟 365 米。问多少时间后再次相遇？

A.34分钟B.36分钟C.38分钟D.40分钟

解析

分步解析

1. 速度差：

$$375-365=10\text{米/分}$$

2. 追及 1 圈（400 米）所需时间：

$$t=\frac{400}{10}=40\text{分钟}$$

答案：D（40 分钟）

易错点：误用“速度和”而不是“速度差”。

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9) 数列（二级等差）

核心讲解
当一阶差值无规律时，继续做二阶差，若二阶差为常数，则是二级等差。

真题（国家公务员数字推理习题）：5，8，( )，23，35

A.19B.18C.15D.14

解析

分步解析

设空缺项为 $x$。一阶差为：

$$8-5=3,x-8,23-x,35-23=12$$

如果是二级等差，一阶差应构成等差：$3,6,9,12$。
所以：

$$x-8=6\Rightarrow x=14$$

并且 $23-14=9$ 验证成立。

答案：D（14）

易错点：只看首尾差，忽略中间结构。

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10) 数列（幂次双变化）

核心讲解
先把每项改写成幂，观察“底数”和“指数”是否分别有规律。

真题（2006 国考第 32 题）：1，32，81，64，25，( )，1

A.5B.6C.10D.12

解析

分步解析

改写为幂：

$$1=1^6,32=2^5,81=3^4,64=4^3,25=5^2$$

可见底数递增 $1,2,3,4,5,6,7$，指数递减 $6,5,4,3,2,1,0$。
故空缺项应是：

$$6^1=6$$

末项也符合：

$$7^0=1$$

答案：B（6）

易错点：把 81、64、25 仅看成平方数，漏看 32 的 $2^5$ 提示。

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11) 几何（长方体表面积）

核心讲解
长方体表面积：

$$S=2(ab+bc+ac)$$

平面包裹题先算“至少需要的总面积”，再看选项是否可折叠实现。

示意图

真题（立体几何高频）：一个长方体盒子长 20 厘米、宽 8 厘米、高 2 厘米。要用一张纸完整包裹六个面，且剪下部分不能再贴补。这张纸大小可能是哪一个？

A.长25厘米、宽17厘米B.长26厘米、宽14厘米C.长24厘米、宽21厘米D.长24厘米、宽14厘米

解析

分步解析

1. 先算表面积：

$$S=2(20\times 8+20\times 2+8\times 2)$$$$=2(160+40+16)=432{\text{cm}}^2$$

2. 各选项面积：

• A：$25\times 17=425$（不足）
• B：$26\times 14=364$（不足）
• C：$24\times 21=504$（可行）
• D：$24\times 14=336$（不足）

答案：C

易错点：只比较面积，不考虑“是否能展开折叠”；本题 C 同时满足面积与可包裹条件。

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12) 几何（浸水 + 缩放）

核心讲解

• 浸入前后总体积守恒。
• 边长缩放 $k$ 倍，面积缩放 $k^2$ 倍。

真题（2007 年中央第 47 题）：边长 1 米木质正方体放入水中，有 0.6 米浸入水中。若将其分割成边长 0.25 米的小正方体并全部放入水中，问直接与水接触的表面积总量为多少？

A.3.4平方米B.9.6平方米C.13.6平方米D.16平方米

解析

分步解析

1. 大正方体入水时接触面积：

$$S_{\mathrm{大}}=1\times 1+4\times (1\times 0.6)=1+2.4=3.4$$

2. 小正方体边长是原来的 $\frac{1}{4}$，面积是原来的：

$${\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{1}{16}$$

3. 小正方体个数：

$${\left(\frac{1}{0.25}\right)}^3=64$$

4. 总接触面积：

$$S_{\mathrm{总}}=64\times 3.4\times \frac{1}{16}=13.6$$

答案：C（13.6 平方米）

易错点：把面积缩放误写成 $\frac{1}{4}$（线性缩放）。

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13) 排列组合（分类计数）

核心讲解
“至少”常用分类讨论；同类内用排列或组合，最后相加。

真题（国家 2010-46）：某单位订阅了 30 份学习材料发给 3 个部门，每个部门至少发 9 份。问有多少种不同发放方法？

A.7B.9C.10D.12

解析

分步解析

满足“每个部门至少 9 份”，可分三类：

1. $(10,10,10)$：$1$ 种。
2. $(9,10,11)$：三个数都不同，分配给三个部门有

$$3!=6\text{种}$$

3. $(9,9,12)$：选哪个部门拿 12 份，

$$C_3^1=3\text{种}$$

总数：

$$1+6+3=10$$

答案：C（10）

易错点：漏掉 $(10,10,10)$ 这类。

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14) 容斥原理（三集合）

核心讲解
三集合标准容斥：

$$|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|AB|-|AC|-|BC|+|ABC|$$

若已知“至少两项”和“三项都参加”，可先拆出“恰两项”。

真题（容斥高频）：某公司运动会中，参加百米跑 86 人、跳高 65 人、拔河 104 人；至少参加两项的有 73 人，三项都参加的有 32 人。问参赛总人数是多少？

A.89B.121C.150D.185

解析

分步解析

1. 设：恰两项为 $y$，三项为 $z$。已知：

$$y+z=73,z=32\Rightarrow y=41$$

2. 三项目报名总人次：

$$86+65+104=255$$

人次也可写成：

$$255=\text{恰一项人数}+2y+3z$$

设恰一项人数为 $x$：

$$x+2\times 41+3\times 32=255$$$$x+82+96=255\Rightarrow x=77$$

3. 总人数：

$$x+y+z=77+41+32=150$$

答案：C（150）

易错点：把“至少两项”误当成“两两交集之和”。

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七、刷题建议（按提分优先级）

1. 先拿下：和差倍比、比例增长、折扣利润、浓度。
2. 再突破：工程、环形行程、几何面积体积。
3. 最后攻坚：数列变式、排列组合、容斥。

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