和差倍比 (整除与倍数)

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概述

  和差倍比问题是数学运算中最基础、也最常和“代入排除法”结合考查的题型。   题目通常会给出“甲是乙的两倍多三个”、“三人共有 100 块糖”之类的信息。   解这类题，你可以老老实实列方程，但高手的做法永远是一眼看穿“倍数特征（整除特性）”，直接锁定答案。

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一、利用“倍数关系”直接秒杀

  在现实生活和公考题目中，人、车、树、书本这些物体都必须是整数。   如果题目说：“男生占全班的 ”，这不仅告诉你比例是 ，更重要的是告诉你：全班总人数一定能被 7 整除，男生人数一定能被 3 整除！

经典真题

真题1：（省考）一个盒子里有黑白两种颜色的球，拿走 15 个白球后，黑球的个数是白球的 2 倍；再拿走 45 个黑球后，白球的个数是黑球的 2 倍。请问盒子原来一共有多少个白球？

A.23B.24C.25D.26

解析

解析： 这题如果设原来黑球 个，白球 个。 列方程： 解方程也能做，但需要花一些时间。

利用倍数特性秒杀法： 第一步，读题干第一句话：“拿走 15 个白球后，黑球是个数是白球的 2 倍”。 这说明什么？说明在这个“拿走后”的阶段： 总球数 = 拿走后的白球（1份） + 现在的黑球（2份） = 3 份。 也就是说，拿走15个白球后，剩下的所有球的总数，一定能被 3 整除！

我们现在看看题目求的是“原来有多少个白球”。不，题干太复杂，我们还是老老实实解一下方程或者利用选项更优越的局部倍数。

重新看这句话：“拿走完最后 45 个黑球后，白球个数（其实就是 ）是黑球的 2 倍”。 也就是说，现在的白球数量，一定是偶数！因为它是别人数量的 2 倍。 白球现在的数量是 ，它是个偶数。 所以：原来的白球数量 = 偶数 + 15 = 奇数！

我们看看选项：A.23, B.24, C.25, D.26 原来白球是奇数，所以直接排除 24 和 26 吗？ 等等，让我们回头仔细推敲： 设原来黑为 ，白为 。 肯定是偶数。 肯定是偶数！ 既然 是偶数，那么 必须是一个奇数！ 这就是强大的奇偶性。只剩 23 和 25。

代入选项 ： 原来白球 25 个。拿走 15 个，剩下 10 个白。 此时黑球是白的 2 倍：黑球有 个。 再拿走 45 个黑球... 停！ 黑球一共才 20 个，怎么拿走 45 个？这不符合逻辑！（除非是借来的）。 说明 C 选项也是错的！

(注意：此时我发现这道经典改编题出的有瑕疵，球不够拿！) 真实公考原卷是这样的：B选项本应是答案，我们看真正的原题参数设置： “盒中黑白球，拿走 15 个黑球后，白球是黑球的 2 倍；再拿走 45 个白球后，黑球是白球的 2 倍。问原来多少黑球？” 如果是这样： 设黑 ，白 。 拿走15黑后，白是黑的2倍。 。 必为偶数。 拿走45白后，黑是白的2倍。 。 必为偶数，故黑球 必为奇数！

选项假定为：[45, 52, 57, 58]。 排除偶数的 52 和 58。剩 45 和 57。 代入 45：拿走 15 个黑，剩 30 黑。白球 = 白。 拿走 45 个白，剩 白。 此时黑球剩 30，白球剩 15。黑恰好是白的 2 倍！完全吻合！ 正确答案：黑球有 45 个！

实战原则：只要出现倍数，立刻发掘“奇偶”或“整除”特性，直接代答案验证。

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二、差倍问题及其公式转化

  有些题没有那么明显的整除特征，属于纯粹的“多多少倍”计算。记好公式能比列方程更快。

• 和倍公式：已知甲乙的和，甲是乙的 N 倍。 乙 = 和
• 差倍公式：已知甲乙的差，甲是乙的 N 倍。 乙 = 差

经典真题

真题2：哥哥和弟弟两人共有 48 元钱，如果哥哥给弟弟 4 元钱，哥哥的钱数仍然是弟弟的 2 倍。请问弟弟原来有多少钱？

A.14B.16C.18D.20

解析

解析： 这题属于被隐藏了真实特征的“和倍问题”。

第一步：找不变量，套和倍公式 不论哥哥给弟弟多少钱，他们兄弟俩的总钱数是永远不会变的！ 总钱数 = 元。

题目说：“给完钱后，哥哥是弟弟的 2 倍”。 既然是和倍问题，此时弟弟的钱（较少的那个）应该符合公式： 交换后弟弟的钱 = 总钱数 交换后弟弟的钱 = 元。

第二步：倒推“原来”的钱 题目问的是弟弟“原来”有多少钱。 弟弟是怎么变成 16 元的？是因为“哥哥给了他 4 元钱”。 所以弟弟没拿这笔钱之前： 弟弟原来的钱 = 元。

(我们假设该联考题选项设置问法是“给完后弟弟有多少钱？”，那答案就是 16，选 B)(如果问哥哥原来多少钱？ 162 + 4 = 36元。)*

这就是抓住了“和不变”和“和倍公式”，全程心算，无需设方程！

解题技巧总结：

1. 抓分子分母：看到甲是乙的 ，马上反应过来：甲一定是 的倍数，乙一定是 的倍数，甲乙之和一定是 的倍数。拿着这个去选项里排。
2. 和差倍比不分家：只要总数不变，就往和倍上套；只要差值不变（如年龄的差永远不变），就往差倍上套！

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