和差倍比 (整除与倍数)

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概述

  和差倍比问题的核心是把题干中的“和、差、倍、比”转化成最简关系。很多题既可以列方程，也可以利用整除、奇偶和倍数特征更快地排除选项。

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一、和倍与差倍公式

• 和倍问题：已知和，甲是乙的 n 倍

  $$\mathrm{乙}=\mathrm{和}÷(n+1)$$

• 差倍问题：已知差，甲是乙的 n 倍

  $$\mathrm{乙}=\mathrm{差}÷(n-1)$$

经典真题

真题1：哥哥和弟弟共有 48 元。如果哥哥给弟弟 4 元后，哥哥的钱数仍是弟弟的 2 倍。问弟弟原来有多少钱？

A.12B.14C.16D.18

解析

解析： 给钱前后，总钱数都不变，仍为 48 元。

给钱后，哥哥是弟弟的 2 倍，因此给钱后的钱数构成和倍关系：

$$\mathrm{弟}\mathrm{弟}\mathrm{现}\mathrm{有}=48÷(2+1)=16$$

弟弟原来比现在少 4 元，所以原来有：

$$16-4=12$$

正确答案为 A。

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二、倍数与整除特性

  如果题目说“甲占总数的 $\frac{3}{7}$”“黑球是白球的 2 倍”，那就不仅有比例信息，还蕴含整除信息：

• 总数通常应能被分母整除；
• 某个量通常应是分子或倍数关系中的整数倍；
• 结合选项常常能迅速排除不可能值。

经典真题

真题2：某班男女生人数之比为 $2:3$，全班人数在 10 到 20 之间。问该班可能有多少人？

A.12B.15C.18D.21

解析

解析： 男女生之比为 $2:3$，总份数为：

$$2+3=5$$

因此总人数一定是 5 的倍数。

在 10 到 20 之间，只有：

$$15$$

符合条件。

正确答案为 B。

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解题提示

1. 和倍题先用总量，差倍题先用差值。
2. 见分数或比例，要立刻想到“总份数”和“整除条件”。
3. 这类题常和代入排除法联用，尤其适合客观题环境。