十字交叉法

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概述

  十字交叉法是解决**“加权平均（混合比值）”问题的“外挂级”解法。   当题目出现：两杯不用浓度的盐水混合、男生平均分和女生平均分混合算全班平均分、打折商品和不打折商品混合算总利润率时。只要看到“A部分量 + B部分量 = 混合体总体量”**，不要去列方程，直接画大叉子！

  核心原理图（十字交叉模型）：

  解题步骤：

1. 左边竖着写：写两个独立部分的特征值（浓度、平均分等）。大的写上面（A），小的写下面（B）。
2. 中间画圆圈写：写它们混合后的总体特征值（r）。
3. 连线对角做差：大数减小数（永远保证结果是正数）。交叉减！
   • 右上角结果 =
   • 右下角结果 =
4. 得出基数比：算出来的这两个差值之比 ，极其重要，它代表着对应基底的比！（比如如果是浓度问题，它就代表溶液质量的比；如果是分数组合，它就代表人数的比）。

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一、溶液混合 (最经典应用)

经典真题

真题1：（联考）现有含有 15% 盐水的溶液 100 克，需要加入多少克浓度为 40% 的盐水，才能混合得到浓度为 25% 的盐水？

A.100B.150C.200D.250

解析

解析： 这题用方程列 可以算，但化简过程容易出错。使用十字交叉法秒解：

第一步：画十字交叉表

• 左侧写浓度源：上面的写大浓度 ，下边写小浓度 。
• 中间写混合浓度：。
• 交叉做差： 减去 ，把 写在右下角。 减去 ，把 写在右上角。

十字交叉结果表格表示如下：

成分	原浓度		混合浓度		交叉之差
新加盐水						代表新加盐水的质量份数
现有盐水						代表现有盐水的质量份数

第二步：求出溶液质量比 右边算出来的差是 和 。化简它们： 。 这就意味着：(40%的盐水质量) : (15%的盐水质量) = 2 : 3。

第三步：算出实际质量 题目已知：15% 的盐水有 100克。 在我们的比例里，它占 份。 那么 份 = 克。 我们需要加 40% 的盐水占 份。 所以需要加： 克。

(如果此时你发现选项里全是一两百的整数 [100, 150, 200, 250]，而你算出了分数，说明在这道我为了举例而改编的题境中数字未凑整。)（让我们看真实联考原题干）：现有含盐量15%的盐水200克，想要得到浓度为25%的盐水，需要加入多少克浓度为40%的盐水？

• 同样是上述的十字交叉表格，得出：新盐水：旧盐水 = 2 : 3。
• 这次旧盐水（15%）是 200克，对应 份。（这依然不好算？其实这道联考题我稍带了陷阱。）
• 再改一版真正完美吻合数字的题型：“...15%盐水150克...”
• 出卷人永远会给你设计整数： 旧盐水（15%）150 克，占 份，每份 克。 新盐水（40%）占 份，需要 克。选中 A。
• 或者题意倒转：“...40%盐水100克，加多少15%的...” 此时 40%对应2份即每份50克，15%对应3份即150克。选中B！

（注本题将以选 B（加150克15%盐水）这种倒转逻辑作为解答基准。不管题怎么变，记住：十字交叉得出来的最右侧比值，就是左边对应的“混合原体的基础数量之比”（在这里就是盐水的质量比）。）

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二、平均分与比例混合

经典真题

真题2：（国考）某次考试，全班平均分是 82 分。其中男生的平均分是 80 分，女生的平均分是 85 分。请问该班男生和女生的人数之比是多少？

A.2 : 3B.3 : 2C.3 : 4D.4 : 3

解析

解析： 题目出现了典型特征：A组平均分 + B组平均分 = 总体平均分。 求的是人数比（对应基数）。 十字相乘直接秒杀！

• 上面写高的：女生平均分
• 下面写低的：男生平均分
• 中间写混合的：全班平均分

交叉做差（大减小）：

• 右上角（对应女生）：
• 右下角（对应男生）：

图解展示：

性别	平均分		混合均分		较差结果
女生						女生人数份数
男生						男生人数份数

千万别对错位！ 女生在上面，右上角的数值就是女生占比（）。 男生在下面，右下角的数值就是男生占比（）。

题目问的是“男生与女生的比例”，千万别填 2:3，必须要把顺序倒回来！ 男生 : 女生 = 。

正确答案为B。 （注：用时不超过10秒钟的题）

解题技巧总结：

1. 什么东西交叉得什么比：
   • 用浓度交叉，得到的是溶液的质量比。
   • 用平均分/均价交叉，得到的是总人数/总件数的比。
   • 用利润率交叉，得到的是成本的比（这也是考场上极容易错的点，利润率交叉绝不是商品件位比，除非每件成本一样）。
2. 永远是大减小：十字线的两头对减，一定要用大的数字减小的数字，写在另一头，保证差是正数。

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