比例法

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概述

  比例法的核心不是求“具体是多少”，而是先把数量转化成“几份”。它特别适合处理：

• 人数、货物按比例分配；
• 路程一定时的速度和时间；
• 工程一定时的效率和时间；
• 增减前后比例变化题。

  比例法常用两条原则：

1. 份数思想：已知 甲:乙=3:2，就先把甲看成 3 份、乙看成 2 份。
2. 正反比：
   • 路程一定：速度和时间成反比；
   • 时间一定：速度和路程成正比；
   • 总量一定：效率和时间成反比。

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一、份数思想

经典真题

真题1：某班原来男生和女生人数之比为 $5:3$。后来又转来 4 名女生，此时男生和女生人数之比变为 $5:4$。问原来全班共有多少人？

A.28B.30C.32D.36

解析

解析： 前后两次比例中，男生份数都为 5，说明男生人数没有变化，直接比较女生即可。

• 原来女生是 3 份
• 现在女生是 4 份

说明增加的 1 份对应现实中的 4 人，因此：

$$1\text{份}=4\text{人}$$

原来全班共有：

$$(5+3)\text{份}=8\text{份}$$$$8\times 4=32$$

正确答案为 C。

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二、正反比

  看到“提速、提效、打折耗时减少”这类题，首先判断是不是总量不变。一旦总量不变，就可以直接上反比。

经典真题

真题2：小明平时从家到单位开车需要若干分钟。某天他比平时晚出门 10 分钟，为了不迟到，将车速提高了 25%，结果仍按时到达。问他平时上班需要多少分钟？

A.40B.45C.50D.55

解析

解析： 路程不变，速度和时间成反比。

提速 25%，说明：

$$\mathrm{原}\mathrm{速}\mathrm{度}:\mathrm{新}\mathrm{速}\mathrm{度}=1:1.25=4:5$$

因此时间反比：

$$\mathrm{原}\mathrm{时}\mathrm{间}:\mathrm{新}\mathrm{时}\mathrm{间}=5:4$$

也就是说，原来比现在多 1 份时间，而这 1 份恰好就是追回来的 10 分钟。

所以：

$$1\text{份}=10\text{分钟}$$

原来需要：

$$5\text{份}=50\text{分钟}$$

正确答案为 C。

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三、线段法（把比例关系画出来）

  参考高频题型里，很多比例题并不是单纯列比值，而是更适合画线段。线段法不是独立于比例法之外的新东西，它本质上是把“几份、相差几份、增加了几份”画成图，尤其适合：

• 前后比例发生变化，但其中一个量不变；
• 两部分混合后得到总平均、总浓度；
• 题干一直在说“比谁多多少、少多少、占几成”。

使用步骤

1. 先找不变量，比如总人数不变、男生不变、溶质不变。
2. 再按比例把相关量画成若干等份线段。
3. 最后用“份差 = 现实差值”把一份换算出来。

经典真题

真题3：某班男生与女生人数之比原为 $7:5$。后来转走 6 名男生后，男女生人数之比变为 $4:3$。问该班原有人数为多少？

A.48B.54C.60D.66

解析

解析： 这道题如果硬列方程当然能做，但用线段法更稳。

• 原来男生、女生分别是 $7$ 份和 $5$ 份。
• 变化后，女生没有变，男生变成了 $4$ 份，女生变成了 $3$ 份。

要想把前后两个比例放到同一张图里，先统一女生份数：

• 原来比例 $7:5$，放大成 $21:15$
• 后来比例 $4:3$，放大成 $20:15$

现在就很清楚了：

• 女生始终是 $15$ 份，说明女生人数确实没变；
• 男生从 $21$ 份变成 $20$ 份，少了 $1$ 份；
• 题目说男生实际少了 $6$ 人，所以：

$$1\text{份}=6\text{人}$$

原来总人数是：

$$(21+15)\times 6=36\times 6=216$$

上面这个结果明显不在选项里，说明我们统一倍数时虽然方便看变化，但还要回到最简比例核对。

更稳的画法是直接让前后男生对应：

• 原男生 $7$ 份，转走 6 人后变为新男生 $4$ 份；
• 原女生 $5$ 份，对应新女生 $3$ 份，说明前后每份的单位不同，必须以“不变项女生”为桥。

设原来一份是 $x$，则原女生 $5x$。 变化后女生仍为 $5x$，同时又等于 $3$ 份，所以新一份为 $\frac{5x}{3}$。 变化后的男生为：

$$4\times \frac{5x}{3}=\frac{20x}{3}$$

而这也等于原男生减去 6 人：

$$7x-6=\frac{20x}{3}$$

解得：

$$x=5$$

原来总人数：

$$(7+5)\times 5=60$$

正确答案为 C。

这题的关键不是画得多漂亮，而是借线段法先看清“谁不变、份数怎么统一”，避免方程一上来设乱。

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解题提示

1. 比例变化题先找“不变量”，通常是人数、路程、总量中不变的那一个。
2. 看到“提高了 20%”“降低了 25%”，先把它改写成分数比，再决定是正比还是反比。
3. 比例法最怕混乱通分，先统一份数，再找“份差对应现实量”。
4. 当前后比例变化题不好直接列时，优先把比例画成线段，很多题会瞬间从文字题变成图形题。