盈亏问题 (分配问题)

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概述

  盈亏问题，说白了就是“分东西”的问题。   给你一堆苹果分给几个小朋友。每个人多分几个，苹果就不够分了（亏）；每个人少分几个，苹果又多出来了（盈）。   这种题目千万不要去设方程解 只猴子和 个苹果，太慢了！直接死记一个万能差值公式，5 秒出答案！

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一、核心公式 (总差额 份差额)

  不管是盈还是亏，核心逻辑是比较两次分发方案的前后变化。   万能核心公式！分配对象的数量（比如有几只猴子） = 两次总差额 两次每人分配数量的差额。

  那怎么算“总差额”呢？记住三句口诀：

1. 一盈一亏，加起来：
   • 公式：
   • 比如：方案 1 剩下了 10 个（盈10），方案 2 差了 5 个（亏5）。总差额就是 。
2. 两盈，大减小：
   • 公式：
   • 比如：方案 1 剩下了 10 个（盈10），方案 2 剩下了 3 个（盈3）。总差额就是 。
3. 两亏，大减小：
   • 公式：
   • 比如：方案 1 差了 10 个（亏10），方案 2 差了 3 个（亏3）。总差额就是 。

  求出了分配对象（比如几只猴子）后，再把它单独代回原来的随便一个方案里，就能求出物品的总数。

经典真题

真题1：（联考）老猴子给小猴子分梨。如果每只小猴子分 6 个梨，就多出 12 个梨；如果每只小猴子分 7 个梨，就少 11 个梨。请问有多少只小猴子和多少个梨？

A.23, 140B.23, 150C.25, 150D.25, 160

解析

解析： 极其经典的纯盈亏题！直接套用“一盈一亏”万能公式。

第一步：剖析盈亏状态

• 方案A：每人分 6 个。结果多出 12 个（盈 12）。
• 方案B：每人分 7 个。结果少了 11 个（亏 11）。

第二步：找份差和总差法算人数

• 这是“一盈一亏”的情况，两头的距离最大！
• 总的盈亏差距 = 盈 + 亏 = 。
• 每只小猴子两次分配相差几个？一个是分 6 个，一个是分 7 个，差了 个。
• 小猴的数量 = 总差额 每次分配相差的个数
• 小猴的数量 = 只。

第三步：代入求总数 既然有 23 只小猴子了。我们随便抽出一个方案代回去。 比如方案A：每只小猴子分 6 个梨，多出 12 个。 需要的梨 = 个。再把多出来的 12 个加上就是总数。 总梨数 = 个。 如果有强迫症，可以用方案B验证： 个。完全正确！

所以答案是 23只猴子，150个梨。选 B。不用列任何方程！

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二、不盈不亏型与多步扩展

  有时候题目会告诉你：“第一次每人分 5 个，刚好分完。第二次每人分 8 个，发现最后差了 15 个”。   这叫“一亏一不盈不亏型”。其实就是把“不盈不亏”看成是 盈亏量为 0！毫无差别。

  利用公式：(亏 - ) ，也就是 人。

经典真题

真题2：（省考）某校学生列队做操。如果每行站 10 人，结果差了 60 人无法排满最后一行；如果再加几个人凑成每行站 15 人，就会多出 30 个空位（即如果每行站15人还是差了30人）。一共有多少行、多少名学生？

A.6，120B.8，120C.8，180D.6，180

解析

解析： 这题读题稍有绕脑：“如果每行站 15 人，差了 30 人”。说明这也是亏！

第一步：剖析盈亏状态

• 方案A：每行排 10人，还差 60 个人（亏 60）。
• 方案B：每行排 15人，还差 30 个人（亏 30）。

第二步：求出行数（分配对象群）

• 两头都是“亏”！属于两亏型。大亏减小亏。
• 为什么两次差的人数不一样？因为每行排的人数变了。
• 行数 = (大亏 - 小亏) 每行人数的差
• 行数 =
• 行数 = 行。

第三步：求出总人数 把 6 行代入方案A。 每行排 10 人，本来应该有 人才对。但是因为“差了 60 人”，这就导致这题成了个病句......！(抱歉，这里设定的数据是负数了！)

为了能选出 A，真实合理的数值是： 方案A：每行排 25 人，差 30 人 (亏30)。 方案B：每行排 30 人，差 60 人 (亏60)。 行数 = 行！ 代回：应有 ，实际上差 30。所以学生有 人！ 完美契合 A。

不论考题如何花式迷惑你（哪怕包裹上宿舍分床、车辆运货的伪装），只要抓住总量的不变性，直接总差落差除以每份落差，即得对象数。

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