相遇追及综合 (多次相遇)

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概述

多次相遇题是普通行程题的升级版。
它的典型场景是：

1. 两人从两端出发
2. 第一次相遇
3. 继续走到端点
4. 折返
5. 第二次、第三次相遇

这类题如果硬列时间方程，很容易绕。
真正高效的做法是记住“奇数倍全程”这个核心结论。

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一、多次相遇的核心结论

设两地全长为 S。

则：

• 第一次相遇时，两人合计走了 1S
• 第二次相遇时，两人合计走了 3S
• 第三次相遇时，两人合计走了 5S

一般地，第 n 次相遇时：

$$\text{两人合走路程}=(2n-1)S$$

这就是多次相遇题最核心的公式。

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二、为什么是奇数倍

第一次相遇时，正好共同走完全程。
此后每多一次相遇，两人合计都会比上一次多走 2 个全程：

• 到端点 1 个全程
• 再折返回来 1 个全程

所以就形成了：

$$1S,3S,5S,7S,\dots$$

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三、个人路程也按同样倍数增长

因为两人的速度始终不变，所以：

• 第二次相遇时，某人所走路程是第一次的 3 倍
• 第三次相遇时，某人所走路程是第一次的 5 倍

这点特别好用。

如果第一次相遇时甲走了 x，那么第二次相遇时甲就走了：

$$3x$$

第三次相遇时甲就走了：

$$5x$$

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四、常见模型

1. 第一次相遇点已知

通常会给“甲距 A 端多少米”。

2. 第二次相遇点已知

通常会给“第二次相遇点距 B 端多少米”或“距 A 端多少米”。

3. 直接列倍数式

如果第一次相遇时甲走了 x，第二次相遇点距 B 端为 y，则常见模型下：

$$3x=S+y$$

于是：

$$S=3x-y$$

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五、经典真题

真题1：甲、乙两人分别从 A、B 两端同时出发相向而行。第一次相遇时，甲距离 A 端 60 米。继续前行至端点后立即折返，第二次相遇时，地点距离 B 端 40 米。问全长 AB 为多少米？

A.135B.140C.145D.150

解析

解析： 第一次相遇时，甲走了：

$$60$$

第二次相遇时，甲走的路程是第一次的 3 倍：

$$60\times 3=180$$

而第二次相遇点距 B 端 40 米，说明甲相当于：

• 先走完全长 S
• 再从 B 往回走 40

所以甲第二次相遇的总路程也可写成：

$$S+40$$

联立得：

$$S+40=180$$

所以：

$$S=140$$

正确答案为 B。

真题2：甲乙两人从两端同时出发，第一次相遇时甲距 A 端 50 米；继续前进至端点后折返，第二次相遇时距 B 端 10 米。全长多少米？

A.120B.130C.140D.150

解析

解析： 第二次相遇时甲走了第一次的 3 倍：

$$50\times 3=150$$

又因为第二次相遇时距 B 端 10 米，所以：

$$S+10=150$$

得：

$$S=140$$

正确答案为 C。

真题3：第一次相遇时甲距 A 端 60 米，第二次相遇时距 B 端 20 米。全长多少米？

A.150B.160C.170D.180

解析

解析：

$$3\times 60=S+20$$

所以：

$$S=160$$

正确答案为 B。

真题4：直线往返多次相遇中，第二次相遇时某人走过的路程是第一次相遇时的几倍？

A.3 倍B.4 倍C.5 倍D.6 倍

解析

解析： 第二次相遇对应总路程由 1S 变为 3S，所以个人路程也变为 3 倍。

正确答案为 A。

真题5：第 3 次相遇时，两人合计共走过多少个全程？

A.5SB.6SC.7SD.8S

解析

解析： 第 n 次相遇时两人合走：

$$(2n-1)S$$

第 3 次为：

$$(2\times 3-1)S=5S$$

正确答案为 A。

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六、考场易错点

1. 不会用奇数倍全程，还在硬列多个时间方程。
2. 第二次相遇点距 A 端、距 B 端方向看反。
3. 忘了个人路程也按 1 倍、3 倍、5 倍增长。
4. 折返后路径写错。
5. 把多次相遇题和环形相遇题混掉。

七、这一章的复习重点

多次相遇题最该背熟的只有两条：

1. (2n-1)S
2. 个人路程同步按奇数倍增长

把这两条记稳，这类题会很快。