比赛问题 (单循环与淘汰赛)

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概述

  比赛问题是公考中一种结合了“常识”和“排列组合”的极简计算题。   题目通常只会出现两种赛制：单循环赛（每个人都要遇到别人一次）和单场淘汰赛（输了就卷铺盖回家，直到决出冠军）。   理解这两种赛制背后的规律，不需要任何复杂的阶乘公式，只需要记住两个极简算式。

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一、单循环赛 (排列组合 C)

  单循环赛的定义：所有人都要和其他所有人打一场。   如果有 个人参加单循环赛，那么总共需要打多少场比赛呢？   相当于从 个人里，随便抽出 个人来打架。所以这就是一个纯粹的组合问题： 场。

  如果是双循环赛（主客场各打一次），那就不仅要挑出 2 个人，还要分先后顺序，是 场。但在省考中基本只考单循环。

经典真题

真题1：（国考）某单位举办乒乓球单打比赛，共有 7 名员工报名参加。采用单循环赛制，即每两名员工之间都要打一场。请问总共需要进行多少场比赛？

A.15B.21C.28D.36

解析

解析： 这题是纯粹的白给送分题。

公式法秒杀： 参赛人数 。 要求每两人打一场，也就是求从 7 个人里挑 2 个人的绝不重复的组合数： 总场次 计算： 场。 选 B。

如果不记公式，靠逻辑怎么推？ 一共 7 个人： 第 1 个人，要和剩下的 6 个人打，所以打了 6 场。 第 2 个人，因为已经和第 1 个人打过了，所以他只需要和剩下的 5 个人打，打了 5 场。 第 3 个人，和剩下的 4 个人打，打了 4 场。 ... 最后一个（第7个人），他什么也不用做，因为前面的人都已经迫切地跟他打过了。 所以总场次 场。

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二、淘汰赛 (树状图与逆向思维)

  单场淘汰赛的定义：两个人打一场，输的人直接被淘汰（抹杀）。只有赢的人才能晋级下一轮。最后活下来的那唯一的一个人就是冠军。   很多同学遇到淘汰赛，喜欢用除以 2 的方式去推：第一轮 32 进 16，打 16 场；第二轮 16 进 8，打 8 场... 然后全部加起来。可以，但很慢！

  核武器：逆向归纳法   我们换个极其残酷的视角：如果比赛一共来了 个人，最终只决出 个唯一的冠军。   那么，到底有多少人被淘汰了？ 毫无疑问，有 个人被淘汰了。   而在单场淘汰赛中，每一场比赛的功能是什么？恰好淘汰 1 个人！   因为一场比赛必定是一赢一输（不准平局），也就是每进行 1 场比赛，必定死 1 个人。   你要死掉 个人，就必须进行 场比赛！这就是真理。不管中间有没有人轮空，不管对阵表画得有多复杂，总场次永远是 ！

经典真题

真题2：（省考）某市举办一届网球单打淘汰赛。共有 128 名选手报名参加。比赛规定，输一场直接淘汰，胜者晋级，直到决出最终的男单冠军。请问这届比赛一共要安排多少场网球对决？

A.63B.64C.127D.128

解析

解析： 这题如果正向推： 第一轮：128 人捉对厮杀，打 64 场，剩 64 人。 第二轮：64 人打 32 场，剩 32 人。 第三轮：32 人打 16 场... 总场次 场。 虽然这是个等比数列求和，但太麻烦！如果是 135 个人呢？连第一对都凑不齐双数，肯定有人轮空对决就没法除了！

逆向思维秒杀法 (死人法则)： 参赛者：总共 128 人。 目标：决出 1 个总冠军。 所以这届锦标赛的目的，就是为了残忍地淘汰掉 127 个人！ 因为这叫“单场淘汰赛”，每进行 1 场比赛，有且只有 1 个人被淘汰。 为了淘汰光那 127 个人，主办方必须、毫无疑问地安排整整 127 场比赛。 连 1 秒钟计算都不需要，直接选 C！

(延伸挑战：如果是 113 个人参赛呢？) 你想想，如果是 113 个人参赛，第一轮轮空的人乱七八糟。 但是，结果依然是选拔 1 个冠军！ 依然需要淘汰掉 个人。 依然需要 场比赛！ 在单场淘汰赛中，总人数减去留下来的人数，永远等于比赛总场数（包括想要决出前3名的循环交叉淘汰，依然用总人数去减活下来的即可快速排雷）。

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