容斥问题 (文氏图与公式法)

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概述

容斥问题的本质只有一句话：

为了避免重复计算，要把重复部分减回去。

所以容斥题从来不是背几个孤立公式，而是先理解“为什么要减、什么时候要加回来”。

公考里高频就三类：

1. 两集合容斥
2. 三集合容斥
3. 至少、至多、只属于、都不属于 这类变形问法

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一、两集合容斥

设两类人分别属于集合 A 和 B。

1. 基础公式

$$A\cup B=A+B-A\cap B$$

也就是说：

$$\text{至少属于一类}=\text{A类人数}+\text{B类人数}-\text{两类都属于的人数}$$

如果题目给了总人数 T，那么：

$$\text{两类都不属于}=T-(A\cup B)$$

2. 为什么要减交集

因为在 $A+B$ 里，交集 $A\cap B$ 被算了两次，所以必须减去一次。

3. 常见变形

求“都不属于”

先算并集，再用总人数去减。

求“只属于 A”

$$\text{只A}=A-(A\cap B)$$

求“两者都属于”

由基础公式变形：

$$A\cap B=A+B-(A\cup B)$$

如果题目给的是总人数和都不属于的人数，则：

$$A\cup B=T-\text{都不属于}$$

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二、三集合容斥

设三个集合分别为 A,B,C。

1. 标准公式

$$A\cup B\cup C=A+B+C-(A\cap B)-(A\cap C)-(B\cap C)+A\cap B\cap C$$

这条公式一定要理解成一个过程：

1. 先把三个大集合都加上
2. 两两交集被重复算了，减掉
3. 最中心的三重交集又被多减了一次，所以要再加回来

2. 如果题目给了总人数

设总人数为 T，都不属于三类的人数为 N，那么：

$$A\cup B\cup C=T-N$$

再代回三集合公式即可。

3. “只属于某一类”怎么求

以只属于 A 为例：

$$\text{只A}=A-\text{仅AB}-\text{仅AC}-A\cap B\cap C$$

而：

$$\text{仅AB}=(A\cap B)-(A\cap B\cap C)$$

所以三集合题最稳的方式通常不是死套公式，而是：

先从最中间的三重交集开始填，再往外层扣。

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三、容斥题的两个常见延伸

1. 最少交集

例如总人数 T，集合 A 有 a 人，集合 B 有 b 人，问两者交集最少多少人。

此时：

$$\text{交集最少}=a+b-T$$

如果结果为负，说明最少可以是 0。

这是因为两集合最多能尽量不重叠，但总人数把它们挤住了。

2. 最多并集

如果问“至少有多少重合”“最多能覆盖多少人”，本质也是容斥变形。

核心仍然是：

$$\text{并集}=\text{总和}-\text{重复部分}$$

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四、文氏图法为什么重要

只要题目出现下面这些词，优先考虑画图：

• 只喜欢
• 恰好参加两项
• 至少参加一项
• 三项都参加
• 其中一部分只满足某两项

因为这时公式虽然还能用，但特别容易把“交集”和“仅交集”混掉。

文氏图法的标准顺序是：

1. 先填最中心
2. 再填仅属于两项的部分
3. 再用大圈总人数反推只属于一项的部分
4. 最后算外面的“不属于任何一项”

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五、经典真题

真题1：某班总人数为 32 人。第一次考核中有 26 人及格，第二次考核中有 24 人及格，两次考核都没有及格的有 4 人。问两次考核都及格的有多少人？

A.18B.22C.26D.28

解析

解析： 先求至少有一次及格的人数：

$$32-4=28$$

再用两集合容斥：

$$28=26+24-x$$

解得：

$$x=22$$

所以两次都及格的有 22 人。

正确答案为 B。

真题2：某班共有 40 人，参加语文兴趣小组的有 18 人，参加数学兴趣小组的有 16 人，两组都参加的有 8 人。问两组都没有参加的有多少人？

A.12B.14C.16D.18

解析

解析： 先求至少参加一组的人数：

$$18+16-8=26$$

所以两组都没参加的有：

$$40-26=14$$

正确答案为 B。

真题3：100 人中会英语 60 人，会数学 45 人。若所有人中都会至少一门，问两者都会的至少多少人？

A.5B.8C.10D.12

解析

解析： 因为所有人都会至少一门，所以并集最多就是 100。

由两集合容斥：

$$100=60+45-x$$

解得：

$$x=5$$

所以两者都会的至少有 5 人。

正确答案为 A。

真题4：某调查中喜欢电影 40 人，喜欢音乐 35 人，两者都喜欢 15 人。只喜欢电影的有多少人？

A.20B.25C.30D.35

解析

解析： 只喜欢电影的人数为：

$$40-15=25$$

正确答案为 B。

真题5：三个集合 A、B、C 的人数分别为 20、18、16，任意两集合交集人数之和为 20，三集合交集为 4。问至少属于一个集合的人数是多少？

A.38B.40C.42D.44

解析

解析： 三集合容斥：

$$A\cup B\cup C=20+18+16-20+4$$

即：

$$54-20+4=38$$

所以至少属于一个集合的人数为 38。

正确答案为 A。

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六、考场易错点

1. 把“交集”当成“只属于两者”。
2. 忘了“都不属于”其实是总人数减并集。
3. 三集合公式最后一项该加回去却忘了加。
4. 把“至少一项”错当成“两项之和”。
5. 遇到“只喜欢”“恰好两项”时还在生硬套公式。

七、这一章的复习重点

容斥题真正要熟的是三件事：

1. 两集合公式会正用也会反推。
2. 三集合公式知道为什么是“加减加”。
3. 复杂题会画文氏图。

把这三件事练熟，容斥题基本就不会丢大分。