容斥问题 (文氏图与公式法)

概述

容斥问题的本质只有一句话：

为了避免重复计算，要把重复部分减回去。

所以容斥题从来不是背几个孤立公式，而是先理解“为什么要减、什么时候要加回来”。

公考里高频就三类：

1. 两集合容斥
2. 三集合容斥
3. 至少、至多、只属于、都不属于 这类变形问法

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一、两集合容斥

设两类人分别属于集合 A 和 B。

1. 基础公式

$$A\cup B=A+B-A\cap B$$

也就是说：

$$\text{至少属于一类}=\text{A类人数}+\text{B类人数}-\text{两类都属于的人数}$$

如果题目给了总人数 T，那么：

$$\text{两类都不属于}=T-(A\cup B)$$

符号含义：

• $T$：总量、周期或时间参数，具体含义见公式前文字。

2. 为什么要减交集

因为在 $A+B$ 里，交集 $A\cap B$ 被算了两次，所以必须减去一次。

3. 常见变形

求“都不属于”

先算并集，再用总人数去减。

求“只属于 A”

$$\text{只A}=A-(A\cap B)$$

求“两者都属于”

由基础公式变形：

$$A\cap B=A+B-(A\cup B)$$

如果题目给的是总人数和都不属于的人数，则：

$$A\cup B=T-\text{都不属于}$$

符号含义：

• $T$：总量、周期或时间参数，具体含义见公式前文字。

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二、三集合容斥

1. 标准公式

2. 如果题目给了总人数

3. “只属于某一类”怎么求

三、容斥题的两个常见延伸

1. 最少交集

2. 最多并集

四、文氏图法为什么重要

五、经典真题

六、考场易错点

七、这一章的复习重点