行程问题基础

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概述

行程问题是数量关系里最核心的板块之一。
它所有变化都离不开三个量：

• 路程 S
• 速度 V
• 时间 t

核心公式始终只有一个：

$$S=Vt$$

但公考常考的不是单纯套公式，而是不同模型下该看“速度和”还是“速度差”。

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一、行程问题的基础关系

1. 三量关系

$$S=Vt,V=\frac{S}{t},t=\frac{S}{V}$$

2. 单位统一

行程题第一步经常不是列式，而是统一单位。

常见换算：

• 1 小时 = 60 分钟
• 1 分钟 = 60 秒
• 1 千米 = 1000 米

只要单位没统一，后面几乎必错。

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二、相遇问题

1. 模型特征

两人相向而行，到相遇时，两人共同走完了全程。

2. 核心公式

$$\text{总路程}=\text{速度和}\times \text{相遇时间}$$

也就是：

$$S=(V_1+V_2)t$$

3. 进一步结论

相遇时两人走的路程之比等于速度之比：

$$S_1:S_2=V_1:V_2$$

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三、追及问题

1. 模型特征

两人同向而行，快者要追上慢者。

2. 核心公式

$$\text{原来距离差}=\text{速度差}\times \text{追及时间}$$

也就是：

$$S=(V_{\text{快}}-V_{\text{慢}})t$$

3. 为什么看速度差

因为真正缩短距离差的，只是快者比慢者“多跑出来”的那部分。

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四、环形跑道问题

1. 同向

同向第一次追上，意味着快者比慢者多跑了 1 圈。

$$\text{周长}=\text{速度差}\times \text{时间}$$

2. 反向

反向第一次相遇，意味着两人合起来跑完了 1 圈。

$$\text{周长}=\text{速度和}\times \text{时间}$$

3. 第 n 次相遇或追上

只要把“1 圈”换成“n 圈”即可。

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五、平均速度问题

1. 路程相等

若往返路程相等，平均速度为：

$$\overline{V}=\frac{2V_1{V}_2}{V_1+V_2}$$

2. 时间相等

若两段时间相等，平均速度就是算术平均：

$$\overline{V}=\frac{V_1+V_2}{2}$$

这两类题很容易混。

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六、流水行船与火车过桥是行程分支

这两个分支在目录里分别有单独章节，但在识别上仍属于行程问题。

1. 行船

核心是顺水逆水速度关系。

2. 火车过桥

核心是火车通过桥时，走过的不是桥长，而是：

$$\text{桥长}+\text{车长}$$

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七、经典真题

真题1：甲、乙两人同时从相距 200 千米的 A、B 两地相向而行。甲的速度是 40 千米/小时，乙的速度是 60 千米/小时。问两人相遇时，甲行驶了多少千米？

A.60B.70C.80D.90

解析

解析： 速度和：

$$40+60=100$$

相遇时间：

$$200÷100=2$$

甲行驶的路程：

$$40\times 2=80$$

正确答案为 C。

真题2：小偷作案后以 5 米/秒的速度逃跑。2 分钟后，警察发觉并以 7 米/秒的速度从同地追击。问警察追上小偷需要多少分钟？

A.4B.5C.6D.8

解析

解析： 先统一单位，2 分钟 = 120 秒。

小偷先跑距离：

$$5\times 120=600$$

速度差：

$$7-5=2$$

追及时间：

$$600÷2=300\text{秒}$$

化成分钟：

$$300÷60=5$$

正确答案为 B。

真题3：甲、乙两人在长 400 米的环形跑道上同时同地同向起跑，甲每秒跑 6 米，乙每秒跑 4 米。问甲经过多少秒第一次追上乙？

A.180B.200C.220D.240

解析

解析： 同向环形追及：

$$\text{周长}=\text{速度差}\times \text{时间}$$

速度差：

$$6-4=2$$

所以：

$$400÷2=200$$

正确答案为 B。

真题4：甲、乙两人在周长 360 米的环形跑道上同时同地反向出发，甲每秒 10 米，乙每秒 8 米。问两人第一次相遇需要多少秒？

A.20B.25C.30D.40

解析

解析： 反向相遇看速度和：

$$10+8=18$$

所以：

$$360÷18=20$$

正确答案为 A。

真题5：甲去程速度 60 千米/小时，返程速度 40 千米/小时。若去返路程相等，则往返平均速度是多少？

A.24B.30C.36D.40

解析

解析： 等路程平均速度公式：

$$\overline{V}=\frac{2V_1{V}_2}{V_1+V_2}$$

代入：

$$\frac{2\times 60\times 40}{60+40}=\frac{4800}{100}=48$$

如果按当前选项，正确结果不在选项中，说明原题选项不匹配。
本题正确结果应为 48 千米/小时。

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八、考场易错点

1. 单位不统一就开始列式。
2. 相遇题误看成速度差。
3. 追及题误看成速度和。
4. 环形题不知道“第一次追上”对应一圈。
5. 等时间平均速度和等路程平均速度混掉。

九、这一章的复习重点

行程题真正要练的是识别：

1. 相向看速度和
2. 同向追及看速度差
3. 环形一圈是关键路程

模型一旦识别出来，行程题就很固定。