概率问题 (古典概型与条件概率)

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概述

概率题在公考里不算题量最多，但很容易因为“情况数没数全”或“顺序没分清”而丢分。
这类题要学透，不能只记一个

$$P=\frac{\text{有利情况数}}{\text{总情况数}}$$

还要把下面这些问题想清楚：

1. 题目是不是等可能？
2. 是不是要分顺序？
3. 是有放回还是无放回？
4. 是直接求，还是用对立事件更快？

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一、概率问题的基础概念

1. 古典概型

如果所有基本结果发生的可能性相同，就属于古典概型。

此时：

$$P=\frac{\text{满足条件的情况数}}{\text{总情况数}}$$

公考中最常见的古典概型有：

• 摸球
• 掷骰子
• 抛硬币
• 随机选人
• 随机排位

2. 互斥事件

两个事件不能同时发生，例如掷一个骰子，不可能同时既是 2 点又是 5 点。
互斥事件概率可直接相加。

3. 对立事件

事件 $A$ 的对立事件记作 $\bar{A}$，满足：

$$P(A)=1-P(\bar{A})$$

只要题目出现：

• 至少一个
• 至少一次
• 至多一个

优先考虑对立事件。

4. 独立事件

如果一个事件发生与否不影响另一个事件，那么它们独立。
例如不同人是否通过考试彼此独立，连续掷骰子彼此独立。

此时：

$$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$$

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二、常用公式与方法

1. 直接求概率

最基础的公式仍然是：

$$P=\frac{\text{有利情况数}}{\text{总情况数}}$$

2. 对立事件法

如果求“至少一个成功”，往往正面分类很麻烦，这时优先求“一个都不成功”。

$$P(\text{至少一个})=1-P(\text{一个都没有})$$

3. 分步乘法

如果一个事件要分几步完成，并且每一步都必须满足条件，就用乘法。

例如连续两次都抽中红球：

$$P=P_1\times P_2$$

4. 分类加法

如果目标事件由几种互不重叠的情况组成，就分类相加。

例如“恰好一枚正面”可分成：

• 正反
• 反正

5. 有放回与无放回

有放回

每次抽完再放回，总数不变，各次概率通常相同。

无放回

抽完不放回，总数变化，后一步概率会变化。

这是概率题最容易漏掉的点。

6. 条件概率的基本理解

如果题目先告诉你“某件事已经发生”，那么样本空间就被缩小了。
这时再算概率，本质上是在新的范围里重新做古典概型。

公考里条件概率通常不会写得太学术，更多是口头表述：

• 已知抽到的是红球，问它来自某一组的概率
• 已知某人通过了第一轮，问他最终入选的概率

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三、概率题的高频模型

1. 摸球问题

先看：

1. 同时抽还是依次抽
2. 是否放回
3. 是否区分顺序

如果是“同时抽 2 个球”，通常用组合更稳。

2. 骰子与硬币

这类题样本空间固定，最容易做成送分题。

• 一枚骰子：6 种结果
• 两枚骰子：36 种有序结果
• 两枚硬币：4 种结果

3. 至少一个

优先考虑对立事件。

4. 恰好发生一次

通常要分类讨论，再把每一类加起来。

5. 排列组合型概率

当概率题本身涉及“选法”和“排法”时，本质上还是：

$$\frac{\text{满足条件的排列组合数}}{\text{全部排列组合数}}$$

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四、经典真题

真题1：一个盒子中装有 3 个红球和 2 个白球，现从中随机同时抽取 2 个球，求恰好抽到 2 个红球的概率。

A.1/6B.1/5C.2/5D.3/10

解析

解析： 同时抽取 2 个球，不分顺序，用组合。

总情况数：

$$C_5^2=10$$

有利情况数：从 3 个红球中抽 2 个：

$$C_3^2=3$$

所以所求概率为：

$$\frac{3}{10}$$

正确答案为 D。

真题2：小明通过某考试的概率为 $5/6$，小华通过该考试的概率为 $4/5$。求两人中至少有 1 人通过考试的概率。

A.4/5B.5/6C.29/30D.31/32

解析

解析： “至少有 1 人通过”优先看对立事件“都没通过”。

小明没通过的概率：

$$1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$$

小华没通过的概率：

$$1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$$

两人都没通过的概率：

$$\frac{1}{6}\times \frac{1}{5}=\frac{1}{30}$$

所以至少 1 人通过的概率为：

$$1-\frac{1}{30}=\frac{29}{30}$$

正确答案为 C。

真题3：同时抛两枚硬币，恰有一枚正面的概率是多少？

A.1/4B.1/3C.1/2D.2/3

解析

解析： 样本空间为：

• 正正
• 正反
• 反正
• 反反

共 4 种等可能结果。

恰有一枚正面的有 2 种：

• 正反
• 反正

所以概率为：

$$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

正确答案为 C。

真题4：掷两枚骰子，至少有一枚点数为 6 的概率是多少？

A.11/36B.1/6C.5/6D.25/36

解析

解析： “至少一枚为 6”优先用对立事件。

对立事件是“两枚都不是 6”。

一枚不是 6 的概率：

$$\frac{5}{6}$$

两枚都不是 6 的概率：

$${\left(\frac{5}{6}\right)}^2=\frac{25}{36}$$

所以所求概率为：

$$1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$$

正确答案为 A。

真题5：一个袋中有 2 个红球、3 个白球，不放回地连续摸两次。已知第一次摸到红球，问第二次也摸到红球的概率是多少？

A.1/5B.1/4C.1/3D.1/2

解析

解析： 题目已经告诉你第一次摸到红球，因此样本空间已经变了。

第一次摸到红球后，袋中还剩：

• 1 个红球
• 3 个白球

共 4 个球。

所以第二次也摸到红球的条件概率为：

$$\frac{1}{4}$$

正确答案为 B。

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五、考场易错点

1. 同时抽取和依次抽取不加区分。
2. 有放回、无放回混掉。
3. “至少一个”还在正面硬分情况。
4. 把顺序有关的问题当成顺序无关。
5. 条件概率没有重新缩小样本空间。

六、做概率题的稳定顺序

1. 先判断是不是等可能。
2. 再看顺序要不要区分。
3. 再看是分类加法还是分步乘法。
4. 看到“至少”先想对立事件。
5. 题目复杂时，先把样本空间写出来再算。

概率题难的不是公式，而是数情况数。
把样本空间想清楚，题目就会规整很多。