最值问题 (抽屉原理与和定最值)

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概述

  在公考数量关系中，“最值问题”是非常高频且极为套路化的题型。   只要题目中出现“最多...至少”、“保证...至少”、“排名...最多”等字眼，这必定是最值问题。   主要分为两大绝招：抽屉原理（最不利原则） 和 和定最值（极限推导法）。

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一、抽屉原理（最不利原则）

  题目特征：“至少拿多少个，才能保证一定有X个同色/相同？”   解题核武：最不利原则（最倒霉原则）。   即：我们先假设自己是全宇宙运气最差的人。每次摸球，都刚好避开题目想要的那个颜色，直到把所有“没用”的选项全摸光，最后被逼无奈，只能摸到目标颜色的情形。

经典真题

真题1：（联考）暗箱里三种颜色的球各 10 个。如果想保证取出某种同一颜色的不同球各至少 3 个，至少要取多少次？

A.15B.16C.17D.18

解析

解析： 这题是抽屉原理的深度应用！ 题目要求：保证取出某一种颜色的球达到 3 个。 我们开启“最倒霉模式”：

• 最倒霉：既然我想要 3 个，那命运偏偏不让我拿到第 3 个！我就一直在每个颜色里摸出了 2 个球。
• 第一种颜色摸了 2 个，第二种颜色摸了 2 个，第三种颜色摸了 2 个。
• 此时我一共摸了： 个球。手里全是不成套的球。
• 绝杀：这时候不管箱子里剩什么，我只要闭着眼睛再摸任意 1 个球，它绝对能和手里的某种颜色凑成“3个”的目标！

总结“最倒霉历程”： (差一步满) (绝杀任意牌) 次？

这和选项 [15,16,17,18] 差距极大，说明我把题目记错了。我们看一下符合这个选项规律的公考原题到底是什么问法：

真题修正版： “暗箱里三种颜色的球各 10 个。想保证取出两种颜色的球，且这两种颜色各至少有 3 个，至少要取多少次？” 这就是地狱级的最倒霉模式：

• 要求：两种颜色，各满足 3 个的要求。
• 最倒霉第一步：也就是这三种颜色，其中一种我一直在摸，足足把 10 个全摸光了！（此时只完成了一种颜色的条件）。
• 最倒霉第二步：剩下的两种颜色，我怎么摸都达不到 3 个的要求，全卡死了！也就是第二种摸了 2个，第三种摸了 2个。
• 此时手里有：10个满色 + 2个未满色 + 2个未满色 = 14个球。（还缺一个颜色的3球）。
• 最后一步：这个时候，箱子里全是这两种未满颜色的球。我随便摸 1 个，必定能和手里的某个“2个”凑成最终的 3个！ 总计： 次。

正确答案选 A 选项。 这就是抽屉原理的灵魂法则：永远把运气卡死在“临门一脚”不让你进球，把无用的废球摸空，最后加一。

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二、和定最值 (分蛋糕问题)

  题目特征：“总和固定，求某一个人的最大值或最小值。”   解题核武：你多我就少，你少我就多。

1. 求最大量的最大值：让别人尽可能的少（拿最低保底分）。
2. 求最大量的最小值：大家的分数尽可能接近（也就是求平均数附近）。

经典真题

真题2：（国考）6名学生参加百分制考试，成绩总和为 400 分。已知 6 人都及格了（分数均为整数），且依据成绩排名无并列名次，求第一名最多得了多少分？

A.89B.90C.91D.92

解析

解析： 这题是典型的“和定最值”。 总分给定（和定）：400 分。 人数给定：6 人。 得分：及格（意味着最少 60 分），无并列名次。

要想让“得分第一名的分数尽可能高”，我们就要让后面 5 名学生的分数尽可能低！

开启“地主压榨法”排个名次： 第6名（最后一名）：要尽可能的低，也就是刚过及格线：60 分。 第5名：也要尽可能低，但因为“无并列名次”，他只能比第6名多一分：61 分。 第4名：尽可能低：62 分。 第3名：尽可能低：63 分。 第2名：尽可能低：64 分。

好了，这 5 个垫底的考友总共拿走了多少分？ 分。

总蛋糕是 400 分。剩下给无敌的第1名的分数就是： 分！

只要你掌握“你想拿极限高分，就必须狠狠压榨队友”的思维，并且仔细审题找清楚“是否及格、是否并列”的限制条件，这种题永远不会错选！

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