天平、过河与博弈

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概述

这三类题都不适合蛮算。
它们的共同特点是：看懂规则，比埋头计算更重要。

1. 天平题看的是“称一次能分出几类”。
2. 过河题看的是“谁负责往返最省时间”。
3. 博弈题看的是“哪些状态一上手就不该碰”。

只要规则抓对，这三类题并不神秘；
规则抓错，往往算半天都算不出来。

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一、天平问题

1. 天平题为什么本质是分类题

天平称重一次，结果只有三种：

1. 左边重
2. 右边重
3. 两边平衡

所以“称一次”并不只是得到一个轻重结果，而是在把所有可能情况分成 3 类。
这就是为什么天平题总爱问“最少称几次”。

2. 基础结论

情况 1：已知异常物一定偏重

如果只知道 N 个物体里有 1 个异常，且它一定更重，那么称 k 次最多能区分：

$$3^k$$

个可能对象。

因为每次称重都有 3 种结果，连续 k 次就相当于最多有 3^k 种结果链。

情况 2：不知道异常物偏重还是偏轻

这时每个对象都多了一层“重 / 轻”的状态，难度会明显上升。
经典结论是：

12 枚硬币中有 1 枚是假币，不知偏重还是偏轻，用天平 3 次可以找出它，并判断它是偏重还是偏轻。

这说明天平题并不是死记步骤，而是要学会利用“三分法”去设计称法。

3. 天平题的标准思路

1. 先把可能对象尽量平均分成三组。
2. 每次称重都尽量让三种结果都“有信息量”。
3. 特别重视“平衡”这个结果，因为它往往能一次排除掉一大批对象。

4. 经典真题

真题1：9 个外形完全相同的球中有 1 个较重的球，现有一架无砝码天平，至少称几次能保证找出这个较重的球？

A.1 次B.2 次C.3 次D.4 次

解析

解析： 题目已经明确说“较重”，所以属于“已知异常物一定偏重”的天平题。

一次称重有 3 种结果，因此 2 次称重最多可区分：

$$3^2=9$$

刚好足够。

具体操作也很简单：

第一步：分成 3 组，每组 3 个。
先称其中两组：

• 如果左重，重球在左边那 3 个里
• 如果右重，重球在右边那 3 个里
• 如果平衡，重球在没上秤的那 3 个里

第二步：在确定的那 3 个里再称 1 个对 1 个。

• 若一边重，重的就是目标
• 若平衡，没上秤的那个就是目标

所以至少只需 2 次。

正确答案为 B。

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二、过河问题

1. 过河题的本质

过河题最核心的不是“谁快谁慢”，而是：

谁来回送船（或送手电）最划算。

因为一旦要返回，来回成本就产生了。
真正影响总时间的，往往不是“过去一次”，而是“谁负责回来”。

2. 经典过桥模型

设几个人过桥所需时间从小到大排列为：

$$a_1\le a_2\le a_3\le \cdots \le a_n$$

通常每次最多过两人，同行按较慢者计时。

3. 送走最慢两个人时的两种标准方案

当需要把最慢的两个人 a_{n-1}、a_n 送过去时，常比较下面两种方式。

方案 A：让最快的人单独来回送

步骤可以理解为：

1. a_1 和 a_n 过
2. a_1 回
3. a_1 和 a_{n-1} 过
4. a_1 回

这部分代价为：

$$2a_1+a_{n-1}+a_n$$

方案 B：让最前面两位配合送

步骤可以理解为：

1. a_1 和 a_2 过
2. a_1 回
3. a_{n-1} 和 a_n 过
4. a_2 回

这部分代价为：

$$a_1+2a_2+a_n$$

比较两者，谁小用谁。

4. 递推写法

因此有常用递推：

$$f(n)=f(n-2)+min(2a_1+a_{n-1}+a_n,a_1+2a_2+a_n)$$

配合三个基础值：

$$f(1)=a_1,f(2)=a_2,f(3)=a_1+a_2+a_3$$

这套公式并不是一定要死背，但至少要知道：

过河题不是乱试顺序，而是在比较“送走最慢两人”的成本。

5. 经典真题

真题2：甲、乙、丙、丁四人过桥，单独过桥分别需 1、2、7、10 分钟，每次最多两人同时过桥，两人同行按较慢者计时，且必须有人把手电筒带回。问四人都过桥最少需要多少分钟？

A.17B.19C.20D.23

解析

解析： 按从快到慢排序：

$$1,2,7,10$$

此时要重点比较把 7 和 10 送过去的两种方法。

方案 A：最快者单独送

$$2\times 1+7+10=19$$

方案 B：前两快配合送

$$1+2\times 2+10=15$$

显然方案 B 更优。
然后再加上剩下 1 和 2 最后一起过桥的时间：

$$15+2=17$$

也可以按具体过程写成：

1. 1 和 2 过桥：2 分钟
2. 1 返回：1 分钟
3. 7 和 10 过桥：10 分钟
4. 2 返回：2 分钟
5. 1 和 2 再过桥：2 分钟

总时间：

$$2+1+10+2+2=17$$

正确答案为 A。

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三、博弈问题

1. 博弈题为什么先找“必败态”

博弈题最容易犯的错，是把每一步能怎么走全部列出来。
但真正高效的方式不是穷举，而是先找：

轮到谁走，谁就难受的状态。

这类状态就叫必败态。

找到必败态以后，你要做的事只有一件：
每次都把对手逼回必败态。

2. 最常见模型：取石子

如果题目规则是：

• 桌上有若干枚石子
• 两人轮流取
• 每次可取 1 到 m 枚
• 取到最后一枚者获胜

那么关键结论是：

$$(m+1)\text{ 的倍数}$$

是必败态。

原因很简单：
如果你给对手留下 m+1 的倍数，对手无论取 1、2、...、m 枚，你都可以用“凑成 m+1”的方法应对。

例如每次可取 1 到 3 枚，那么关键数就是：

$$4,8,12,16,\dots$$

3. 如果规则改成“取到最后一枚者输”

那就不是留 4、8、12 这类数了，而要整体后移一位。
仍以每次可取 1 到 3 枚为例，关键数会变成：

$$1,5,9,13,\dots$$

所以博弈题最怕不审清胜负规则。
同样是“每次取 1 到 3 个”，规则一改，答案就会完全变掉。

4. 经典真题

真题3：桌上有 8 枚石子，两人轮流取，每次可取 1 至 3 枚，取到最后一枚者获胜。若双方都采取最优策略，谁能获胜？

A.先手必胜B.后手必胜C.双方平局D.无法判断

解析

解析： 每次可取 1 到 3 枚，所以关键数是 4 的倍数：

$$4,8,12,\dots$$

8 本身就是 4 的倍数，因此它是一个必败态。
也就是说，谁面对 8，谁就吃亏。

先手无论怎么取：

• 取 1，剩 7
• 取 2，剩 6
• 取 3，剩 5

后手都可以把局面重新凑回 4 的倍数：

• 对手取 1，我就取 3
• 对手取 2，我就取 2
• 对手取 3，我就取 1

这样就能不断把 4 的倍数留给先手。
因此在最优策略下，后手必胜。

正确答案为 B。

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四、这三类题怎么快速上手

天平题

先想一次称重能分成几类，不要先想细节操作。

过河题

先排速度顺序，再比较“谁负责返回”最划算。

博弈题

先看胜负规则，再找关键数和必败态。

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五、考场易错点

1. 天平题只把“轻重”当结果，忽略“平衡”其实最有信息量。
2. 过河题不排序，直接凭感觉乱试顺序。
3. 过河题只看谁过得慢，不看谁返回更贵。
4. 博弈题没审清“最后一枚是赢还是输”。
5. 博弈题找到了关键数，却不会用“凑整”方法把对手逼回去。

这三类题都不属于死算题。
真正的突破口永远是：先抓规则，再谈计算。

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