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方阵与切割问题 ​

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概述 ​

方阵题考的是“层数和边长”，切割题考的是“每切一次到底多出了几个部分”。
这两类题的共同点是：不能只盯最终数量，必须先看结构变化。

很多同学会把它们当成普通应用题，其实这类题最重要的是先建立模型：

  1. 方阵先看边长、圈数、外层和内层的关系。
  2. 切割先看每一次操作，究竟让“部分数”增加了多少。
方阵空心外圈 4n-4 相邻两圈差 8切割每加一刀，最多新增与前刀数相同的块数

一、方阵问题 ​

1. 什么叫方阵 ​

横着排叫行，竖着排叫列。
如果行数和列数相等，就排成了一个正方形，这就是方阵。

设每边有 n 人，那么这个方阵的边长就是 n。

2. 实心方阵 ​

实心方阵最简单：

总人数=n2

因为每行有 n 人，一共有 n 行。

反过来，如果已知总人数，想求每边人数，就要先判断这个总数是不是一个完全平方数。

3. 空心方阵 ​

空心方阵只算最外一圈。

如果每边有 n 人，那么四边加起来本来像是 4n，但四个角都被重复算了一次，所以要减去 4：

最外圈人数=4n−4=4(n−1)

于是也能反推出：

每边人数=最外圈人数4+1

4. 相邻两圈为什么总差 8 ​

如果一个方阵向里缩一层，每边会少 2 个点。
因此外圈和内圈的人数之差恒为：

[4n−4]−[4(n−2)−4]=8

所以方阵题中有一个特别高频的结论：

相邻两圈人数总是相差 8。

这个结论在“多层空心方阵”里非常好用。

5. 多层方阵的常见处理 ​

如果题目出现“最外层、第二层、第三层”，通常直接按每层相差 8 去推：

  • 外层是 x
  • 第二层是 x-8
  • 第三层是 x-16

再根据总人数或最内层人数列式。

6. 经典真题 ​

真题1：某班同学排成一个空心方阵，最外圈共有 28 人。问这个方阵每边有多少人？
解析

解析： 空心方阵最外圈人数公式为：

4n−4=28

移项得：

4n=32

所以：

n=8

也可以直接用反推公式：

284+1=7+1=8

正确答案为 B。

真题2：某队伍排成一个 4 层空心方阵，最内层有 28 人。问这个队伍一共有多少人？
解析

解析： 相邻两圈人数相差 8。

既然最内层有 28 人，那么往外每扩一层就加 8 人：

  • 第 1 层：28
  • 第 2 层：36
  • 第 3 层：44
  • 第 4 层：52

总人数为：

28+36+44+52=160

正确答案为 D。

这类题不必硬求边长，直接利用“每层差 8”更快。

二、切割问题 ​

1. 切割题的统一思路 ​

切割题最重要的问题不是“切几刀”，而是：

每切一次，部分数最多能增加多少？

只要把这件事想清楚，很多看起来不一样的切割题都能统一处理。

2. 一维切割：绳子、木头、铁丝 ​

把一根绳子、木头、铁丝锯成 n 段，最基础的结论是：

刀数=n−1

原因很简单：

  • 原来有 1 段
  • 每切 1 次，段数只增加 1
  • 要变成 n 段，就要多出 n-1 段

3. 二维切割：切圆饼、切蛋糕平面图 ​

如果是在平面里用直线切，比如切圆饼、切披萨、切纸片，问 n 刀最多能切成几块，那么要记住：

递推想法 ​

第 n 刀如果想让块数增加得最多，就必须：

  1. 和前面每一刀都相交
  2. 不能经过原有交点

这样第 n 刀会被分成 n 段，每一段都能把原来的一块再切成两块，所以第 n 刀最多新增 n 块。

于是有：

f(n)=f(n−1)+n,f(0)=1

展开后得到：

f(n)=1+n(n+1)2=n2+n+22

这就是平面切割的最大块数公式。

4. 三维切割：切立方体、切蛋糕块 ​

如果是在立体中用平面去切，比如切长方体、切蛋糕块，n 次切割最多块数是低频拓展内容：

F(n)=1+n+(n2)+(n3)

化简后为：

F(n)=n3+5n+66

这类题公考里不算高频，但知道它和二维切割是一脉相承的即可。

5. 经典真题 ​

真题3：一根木头锯成 8 段，需要锯多少次？
解析

解析： 一维切割的基础公式：

刀数=n−1

代入 n=8：

8−1=7

正确答案为 C。

真题4：一个圆形蛋糕，用 4 刀直线切割，最多能切成多少块？
解析

解析： 直接套平面切割最大块数公式：

f(n)=n2+n+22

代入 n=4：

f(4)=42+4+22=222=11

所以最多能切成 11 块。

正确答案为 D。

也可以用递推去想：

  • 0 刀：1 块
  • 1 刀：2 块
  • 2 刀：4 块
  • 3 刀：7 块
  • 4 刀：11 块

后面分别增加了 1、2、3、4。

三、两类题的共同技巧 ​

方阵和切割虽然长得不像，但核心训练是一样的：

  1. 不要一上来算总数，先看结构怎么变。
  2. 方阵看“边长”和“圈数”。
  3. 切割看“每一步增加多少”。
  4. 能用递推想清楚的题，往往比硬背更稳。

四、考场易错点 ​

  1. 把空心方阵最外圈人数错写成 4n，忘了减去四个角的重复。
  2. 见到多层方阵不会用“相邻两层差 8”。
  3. 锯木头时把“段数”和“刀数”混为一谈。
  4. 平面切割题只会死记数列，不知道每一刀为什么多 n 块。
  5. 把二维切割和平面切割、三维切割和立体切割混在一起乱套公式。

如果你先盯住“边长”和“增量”，这两类题就会比表面看起来规整得多。

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