方阵与切割问题

概述

方阵题考的是“层数和边长”，切割题考的是“每切一次到底多出了几个部分”。
这两类题的共同点是：不能只盯最终数量，必须先看结构变化。

很多同学会把它们当成普通应用题，其实这类题最重要的是先建立模型：

方阵先看边长、圈数、外层和内层的关系。
切割先看每一次操作，究竟让“部分数”增加了多少。

一、方阵问题

1. 什么叫方阵

横着排叫行，竖着排叫列。
如果行数和列数相等，就排成了一个正方形，这就是方阵。

设每边有 n 人，那么这个方阵的边长就是 n。

2. 实心方阵

实心方阵最简单：

总人数 = n^{2}

符号含义：

$n$ ：题目中的数量、项数、次数或样本量，具体含义见公式前文字。

因为每行有 n 人，一共有 n 行。

反过来，如果已知总人数，想求每边人数，就要先判断这个总数是不是一个完全平方数。

3. 空心方阵

空心方阵只算最外一圈。

如果每边有 n 人，那么四边加起来本来像是 4n，但四个角都被重复算了一次，所以要减去 4：

最外圈人数 = 4 n - 4 = 4 (n - 1)

符号含义：

$n$ ：题目中的数量、项数、次数或样本量，具体含义见公式前文字。

于是也能反推出：

每边人数 = \frac{最外圈人数}{4} + 1

4. 相邻两圈为什么总差 8

如果一个方阵向里缩一层，每边会少 2 个点。
因此外圈和内圈的人数之差恒为：

[4 n - 4] - [4 (n - 2) - 4] = 8

符号含义：

$n$ ：题目中的数量、项数、次数或样本量，具体含义见公式前文字。

所以方阵题中有一个特别高频的结论：

相邻两圈人数总是相差 8。

这个结论在“多层空心方阵”里非常好用。

5. 多层方阵的常见处理

如果题目出现“最外层、第二层、第三层”，通常直接按每层相差 8 去推：

外层是 x
第二层是 x-8
第三层是 x-16

再根据总人数或最内层人数列式。

6. 经典真题

真题1：某班同学排成一个空心方阵，最外圈共有 28 人。问这个方阵每边有多少人？

A.6B.8C.10D.12

解析

解析： 空心方阵最外圈人数公式为：

4 n - 4 = 28

符号含义：

$n$ ：项数；在 $a_{n}$ 中表示第 $n$ 项的序号。

移项得：

4 n = 32

符号含义：

$n$ ：项数；在 $a_{n}$ 中表示第 $n$ 项的序号。

所以：

n = 8

符号含义：

$n$ ：项数；在 $a_{n}$ 中表示第 $n$ 项的序号。

也可以直接用反推公式：

\frac{28}{4} + 1 = 7 + 1 = 8

正确答案为 B。

真题2：某队伍排成一个 4 层空心方阵，最内层有 28 人。问这个队伍一共有多少人？

A.127B.144C.152D.160

解析

解析： 相邻两圈人数相差 8。

既然最内层有 28 人，那么往外每扩一层就加 8 人：

第 1 层：28
第 2 层：36
第 3 层：44
第 4 层：52

总人数为：

28 + 36 + 44 + 52 = 160

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