多级数列

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概述

  多级数列是公务员考试数字推理部分中最基础且最重要的一类题型，它是学习其他各种题型的基础。这类数列的特点是：数列相邻项之间通过某种运算（最常见的是作差或作商）得到的新数列，会呈现出一定的规律（如等差、等比或周期数列等）。如果一次运算后规律不明显，可以继续进行二次、三次运算，直到找到明显的规律为止。

  多级数列主要包括：等差数列、等比数列、和数列以及积数列四种基本类型及其变式。解题的核心思想是“逐一降级”，即通过做差或做商的方法降低数列的复杂度。

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一、等差数列

  如果一个数列从第二项开始，每一项和前面一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就是等差数列，这个常数被称为等差数列的公差。比如 $1,2,3,4,5$ 这个自然数列，公差为1。

  在真题中，纯粹的等差数列考察较少，更多考察的是多级等差数列：

• 二级等差数列：原数列相邻两项做一次差后，得到的新数列是一个基础数列（如等差数列、等比数列、常数数列或质数数列等）。
• 三级等差数列：原数列做两次差后，得到的新数列是一个基础数列。

  解题标志：数列整体呈现平缓升降，数字变化幅度不大，没有骤增或骤减的情况。常常直接使用逐项做差法。

经典真题

真题1：181，160，137，112，( )，56

A.71B.78C.85D.92

解析

解析： 观察数列，数字呈现平缓递减趋势，优先考虑做差。 第二项与第一项做差（后项减前项）：

• $160-181=-21$
• $137-160=-23$
• $112-137=-25$

做差后得到新数列：$-21,-23,-25$。 可以看出，这构成了一个公差为 $-2$ 的等差数列。 所以，新数列的下一项应为：$-25-2=-27$；再下一项应为：$-27-2=-29$。 倒推原数列的括号处：$112+(-27)=85$。 继续验证最后一项：$85+(-29)=56$，符合题意。

因此，正确答案为C。

真题2：2，5，11，23，( )

A.43B.45C.47D.49

解析

解析： 数字变化平缓，尝试逐项做差（后减前）：

• $5-2=3$
• $11-5=6$
• $23-11=12$

差数列为：$3,6,12$。观察可知，这是一个公比为 $2$ 的等比数列。 差数列的下一项应为：$12\times 2=24$。 由此倒推，原数列括号处数字为：$23+24=47$。

这就是一个典型的“一次做差得到等比数列”的二级等差（变式）数列。 正确答案为C。

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二、等比数列

  如果一个数列从第二项开始，每一项和前面一项的比值都等于同一个常数（通常不等于零），则此数列为等比数列，这个常数被称为公比。

  同样，常考的还有多级等比数列，即原数列相邻项做商（通常是后一项除以前一项）后，得到的新数列是等比、等差或其他规律数列。   解题标志：数列数字变化幅度可能较大，或者数列中存在明显的倍数关系特征。首选解题法是逐项做商。若遇到小数和整数交替，或者跳跃很大的情况，做商法往往非常有效。

经典真题

真题3：1，2，6，24，120，( )

A.600B.720C.840D.960

解析

解析： 数列呈现单调递增，且后期增长速度明显加快，可以尝试做商（后项除以前项）：

• $2÷1=2$
• $6÷2=3$
• $24÷6=4$
• $120÷24=5$

做商后得到的新数列为：$2,3,4,5$。这是一个公差为 $1$ 的自然数等差数列。 因此，新数列的下一项应为 $6$。 原数列括号处数字为：$120\times 6=720$。

正确答案为B。

真题4：2，6，18，( )，162

A.27B.36C.54D.81

解析

解析： 观察明显有倍数关系： $6÷2=3$，$18÷6=3$。 这是一个公比为3的基础等比数列。 所以括号处应为：$18\times 3=54$。 验证：$54\times 3=162$，完全正确。

虽然是极度基础的等比数列，但在考试中通过迅速试除法锁定公比并验证是基本功。 正确答案为C。

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三、和数列 (递推和)

  和数列（递推和数列）是指从某一项开始（通常是第三项），该项等于它前面的各项之和。最经典的就是“斐波那契数列”($1,1,2,3,5,8$...)，前两项之和等于第三项。

  除了直接求和外，更典型的考法是和数列的变式：即相邻几项的总和，再经过加、减某个常数，或乘除某规律数列，得到下一项。例如：$A+B+C=D$ （C为常数或规律变动的数）。

  解题标志：做差、做商都没有明显规律，但能看出前几项相加在数值上比较接近下一项。一般以递增形态为主。

经典真题

真题5：2，3，6，11，20，( )

A.23B.27C.35D.42

解析

解析： 观察数列，起伏不大。做差（$1,3,5,9$）无明显稳定规律。 尝试将相邻两项相加，观察与后面的项的关系：

• $2+3=5$，与 $6$ 差 $1$；即 $2+3+1=6$
• $3+6=9$，与 $11$ 差 $2$；即 $3+6+2=11$
• $6+11=17$，与 $20$ 差 $3$；即 $6+11+3=20$

规律得出：前两项之和，加上一个步长为1的等差数列 $1,2,3,\dots$，等于第三项。 所以，下一个修正值应该是 $4$。 括号处数字应为：$11+20+4=35$。

正确答案为C。这是一种经典的“递推和加变数”的变式题。

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四、积数列 (递推积)

  积数列（递推积数列）与和数列原理类似，通常是指从第三项开始，每一项等于它前面两项（或多项）的乘积，或者乘积后再加、减某个常数/数列得到下一项。如 $A\times B=C$。

  解题标志：数列初期数值较小，但随后会出现跳跃式暴涨，后期数字变得极大（甚至上千上万）。遇到后期数值暴涨的题目，优先考虑递推乘积（或多次方数列）。

经典真题

真题6：2，3，6，18，108，( )

A.1944B.1024C.1280D.2048

解析

解析： 数列出现了由个位数到百位数甚至后面选项几千数的极大跳跃，优先考虑作积。

• $2\times 3=6$ (第三项等于前两项积)
• $3\times 6=18$
• $6\times 18=108$

规律非常明确：前两项相乘等于第三项。 括号处的数字为：$18\times 108=1944$。

正确答案为A。

真题7：2，3，4，9，32，( )

A.263B.273C.283D.293

解析

解析： 数列出现了由个位到两位数跳跃式增长的趋势，可以尝试运用递推乘积的思路。 我们观察相邻项之间的乘积与下一项的关系：

• $2\times 3=6$，距离第四项的 $4$ 是：$6-2=4$
• $3\times 4=12$，距离第五项的 $9$ 是：$12-3=9$
• $4\times 9=36$，距离第六项的 $32$ 是：$36-4=32$

规律非常稳定：前两项的乘积，减去一个递增的等差自然数列（2, 3, 4...），等于第三项。 因此，接下来应该减去的数是 $5$。 括号处数字应为：$9\times 32-5=288-5=283$。

正确解题思路是发现“乘积加减常数/数列”的变种。这类组合规律在联考、省考中经常出现。 正确答案为 C。

解题技巧总结：

1. 多级做差是最百搭的方法，遇到走势平缓的数列，毫不犹豫做差，甚至是三级做差。
2. 遇到数字跳动较大、具有一定倍数关系，首选做商。
3. 遇到趋势递增，但做差无规律，项与项之间大小能有“凑出和”的感觉，用递推和。
4. 后期数字发生暴涨，出现数百、数千甚至更大的数，首选递推积或后面会学到的多次方数列。

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补充真题

真题补充1：2，5，10，17，26，( )

A.35B.36C.37D.38

解析

解析：做差得 3，5，7，9，是公差为 2 的等差数列，下一差为 11。所以答案为 26+11=37。正确答案为 C。

真题补充2：81，27，9，3，( )

A.1B.2C.3D.4

解析

解析：这是公比为 1/3 的等比数列。下一项为 3÷3=1。正确答案为 A。

真题补充3：1，1，2，3，5，( )

A.8B.10C.12D.13

解析

解析：前两项之和等于第三项，是典型和数列。下一项为 3+5=8。正确答案为 A。

真题补充4：1，4，9，16，25，( )

A.34B.35C.36D.37

解析

解析：这是最基础的平方数列：1^2，2^2，3^2，4^2，5^2。下一项为 6^2=36。正确答案为 C。

真题补充5：3，4，6，9，13，( )

A.17B.18C.19D.20

解析

解析：做差得 1，2，3，4，下一差为 5，所以下一项为 13+5=18。正确答案为 B。