多次方数列 (幂次数列)

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概述

  幂次数列的识别关键不在“会不会算幂”，而在于能不能一眼认出熟悉的平方数、立方数以及它们的邻近数。公考中这类题常见的不是标准的 $1^2,2^2,3^2$，而是：

• 平方、立方直接出现；
• 奇数项和偶数项分别是平方、立方；
• 在幂次基础上统一加减一个常数。

  备考时至少要熟记：

• 1~20 的平方；
• 1~10 的立方。

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一、交叉幂次数列

  如果题目中既出现明显平方数，又出现明显立方数，要特别警惕“奇偶项分开看”的交叉规律。

经典真题

真题1：1，8，9，64，( )

A.24B.25C.26D.27

解析

解析： 这道题最容易被误看成同一条规律，实际上应当分奇偶项观察：

• 奇数项：$1,9,()=1^2,3^2,5^2$
• 偶数项：$8,64=2^3,4^3$

因此第 5 项属于奇数位，应为：

$$5^2=25$$

正确答案为 B。

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二、底数和指数同步变化

  这一类题的特点是数字跨度极大，而且往往每一项都可以写成 n^n ± 常数、n^2 ± 常数 这类形式。

经典真题

真题2：-3，0，23，252，( )

A.3121B.3125C.3430D.4092

解析

解析： 观察大数最容易定位：

• $23$ 接近 $27=3^3$
• $252$ 接近 $256=4^4$

继续向前验证：

• $1^1-4=-3$
• $2^2-4=0$
• $3^3-4=23$
• $4^4-4=252$

规律是：

$$n^n-4$$

所以下一项为：

$$5^5-4=3125-4=3121$$

正确答案为 A。

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三、幂次邻居数列

  很多题本身不是平方数、立方数，但都稳定地落在幂次附近，比如“每项都比某个立方数少它的底数”。

经典真题

真题3：0，6，24，60，120，( )

A.204B.210C.216D.222

解析

解析： 逐项和立方数对照：

• $0=1^3-1$
• $6=2^3-2$
• $24=3^3-3$
• $60=4^3-4$
• $120=5^3-5$

规律清楚地写成：

$$n^3-n$$

所以下一项为：

$$6^3-6=216-6=210$$

正确答案为 B。

真题4：9，10，65，26，217，( )

A.49B.50C.63D.65

解析

解析： 这类题起伏大，通常要看“底数连续、指数交替”：

• $9=2^3+1$
• $10=3^2+1$
• $65=4^3+1$
• $26=5^2+1$
• $217=6^3+1$

底数是连续自然数 $2,3,4,5,6$，指数则按 3,2,3,2,3 交替。

因此下一项为：

$$7^2+1=50$$

正确答案为 B。

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解题提示

1. 先找最“眼熟”的大数，如 64、81、125、216、256。
2. 一个数可能有多种幂次写法，例如 64=8^2=4^3，要选最能和其他项形成统一规律的那一种。
3. 如果整列忽大忽小，优先考虑奇偶分组或交叉幂次。
4. 如果各项都只差 1、2、3 这类小常数，优先尝试“幂次邻居”。

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补充真题

真题补充1：1，4，9，16，25，( )

A.36B.49C.64D.81

解析

解析：这是连续自然数平方：1^2，2^2，3^2，4^2，5^2。下一项为 6^2=36。正确答案为 A。

真题补充2：1，8，27，64，125，( )

A.125B.216C.343D.512

解析

解析：这是连续自然数立方：1^3，2^3，3^3，4^3，5^3。下一项为 6^3=216。正确答案为 B。

真题补充3：0，3，8，15，24，( )

A.32B.35C.36D.37

解析

解析：各项可写成 n^2-1：1^2-1=0，2^2-1=3，3^2-1=8，4^2-1=15，5^2-1=24。所以下一项为 6^2-1=35。正确答案为 B。

真题补充4：2，9，28，65，126，( )

A.205B.210C.216D.217

解析

解析：各项为 n^3+1：1^3+1=2，2^3+1=9，3^3+1=28，4^3+1=65，5^3+1=126。下一项为 6^3+1=217。正确答案为 D。

真题补充5：9，10，65，26，217，( )

A.49B.50C.65D.82

解析

解析：可写成 2^3+1，3^2+1，4^3+1，5^2+1，6^3+1，因此下一项为 7^2+1=50。正确答案为 B。